1.6. Пространства Фрике и Тейхмюллера конечной гиперболической поверхности

Пусть конечная гиперболическая поверхность и пространство допустимых квадратичных дифференциалов на Его элементами являются мероморфные квадратичные дифференциалы со на удовлетворяющие условиям

где

веществен на

имеет самое большее простой полюс в каждом проколе

Как и в предыдущей главе, и всевозможные деформации Тейхмюллера поверхности можно отождествить с элементами единичного шара в Как и раньше, соответствует тривиальной деформации.

Определение. Пусть конечная гиперболическая риманова поверхность. Пространством Тейхмюллера поверхности называется множество деформаций Тейхмюллера структуры с топологией, индуцированной отождествлением

Чтобы обосновать некоторые дальнейшие нормировки, нам понадобится следующая

Лемма. Пусть фуксова группа и два ее элемента. Тогда имеют общую неподвижную точку в том и только том случае, если они лежат в одной циклической подгруппе группы

Доказательство. Достаточность тривиальна. Чтобы установить необходимость, поместим общую неподвижную точку Если не лежат в одной циклической подгруппе, то, как показывает простой перебор нескольких возможных случаев, группа не может быть дискретной. Проделаем вычисления для одного из вариантов, предоставив проверку в остальных случаях читателю. Рассмотрим, например, случай, когда гиперболичны и имеют две общие неподвижные точки. Сопрягая если понадобится, можно считать, что это точки и При этом можно представить в виде Общий элемент группы, порожденной имеет вид Ясно, что дискретна в том и только том случае, когда и степени некоторого числа

Пусть -конечная гиперболическая поверхность типа дубль которой также гиперболичен. Мы хотим определить пространство Фрике отмеченных поверхностей типа Отмеченный набор на — это набор простых замкнутых гомотопически нетривиальных кривых которые порождают и удовлетворяют условиям

Здесь -геометрический индекс пересечения, т. е. минимальное число точек пересечения кривых, пробегающих соответствующие гомотопические классы.

Обозначим через В множество мономорфизмов таких, что выполняются условия

дискретен;

гиперболичны;

параболичны.

Кроме того, нормируем мономорфизмы следующими условиями:

если , то

имеет отталкивающую неподвижную точку в 0;

имеет притягивающую неподвижную точку в

имеет 1 неподвижной точкой;

если то будем считать, что

действует разрывно на

имеет отталкивающую неподвижную точку в 0

имеет притягивающую неподвижную точку в

и если при этом , то

имеет притягивающую неподвижную точку в 1,

а если , то

имеет неподвижную точку в 1;

если то и

имеют своими неподвижными точками соответственно

Важно отметить, что может оказаться пустым. Это происходит тогда (и только тогда), когда имеет род нуль и либо неудачно выбрана ориентация при либо неудачно выбрано упорядочение Возникающих здесь трудностей можно избежать, выбрав с самого начала отмеченный набор так, чтобы Будем предполагать это выполненным. Заметим хакже, что если то свободная группа с порождающими.

Определим теперь отображение Пусть образующие группы имеют вид

Будем считать, что их коэффициенты выбраны таким образом, чтобы их следы были положительными, а определители равными единице. Далее, если то положим

При положим

При положим

Если то и мы полагаем

Заметим, что в случае, когда отображение не определяется. Это связано с тем, что в этом случае нет допустимых деформаций. Введем пространство Фрике

Как и в § 1 предыдущей главы, для того, чтобы показать, что параметризует классы конформной эквивалентности отмеченных поверхностей типа достаточно проверить, что по можно восстановить Это делается точно так же, как и в первой главе, с использованием соотношения

Так как то, повторяя рассуждения, приведенные в § 4 гл. I, получаем следующее утверждение.

Теорема. Если отмеченная гиперболическая поверхность типа с гиперболическим дублем, то канонически гомеоморфно пространству Фрике

Как и в гл. I, пространство обладает естественной метрикой, не зависящей от выбора исходной точки Поэтому вместо можно использовать обозначение Метрическое пространство будем называть пространством Тейхмюллера типа