§ 2. Периодические диффеоморфизмы и эллиптические преобразования

Сохраняющий ориентацию диффеоморфизм называется периодическим, если для некоторого

Теорема 1. Диффеоморфизм изотопен периодическому отображению на поверхности тогда и только тогда, когда на имеются конформная структура а и автоморфизм изотопный такие, что отображение а конформно.

Доказательство. Пусть а — конформная структура на индуцированная диффеоморфизмом на соответствующую поверхность Тогда если конформный диффеоморфизм то лежит в группе Но группа конечна по теореме 3 п. 2.2 гл. II. Поэтому для некоторого а следовательно, и

Обратно, если отображение периодично с периодом рассмотрим любую риманову метрику на Для каждого отображение порождает метрику обратный образ метрики Тогда

есть риманова метрика, инвариантная относительно Эта метрика задает на конформную структуру, в которой отображение конформно.

Отметим, что действует также на компонентах края поверхности и орбита прокола относительно состоит только из проколов; аналогично, орбита компоненты края состоит из компонент, края — граничных кривых. Если — внутренняя метрика, то имеет проколы в тех и только тех точках, которые лежат на орбите прокола для метрики Чтобы проверить это, нужно вычислить -длину кривой, соединяющей точку с компонентой края.

Следствие 1. Если индуцирован периодическим автоморфизмом переставляющим проколы на то имеет в неподвижную точку.

Доказательство. Автоморфизм является конформным относительно конформной структуры на поверхности определяемой метрикой для любого отмеченного набора на 5. Поэтому результат вытекает из теоремы 1 п. 2.1 гл. II.

Следствие 2. Пусть поверхность неисключительного типа Тогда изотопно периодическому автоморфизму переставляющему проколы на 5, в том и только том случае, когда эллиптичен.

Доказательство. Пусть эллиптичен. Тогда любой диффеоморфизм индуцирующий изотопен, согласно теореме 1 п. 2.1 гл. II, периодическому автоморфизму

поверхности для которого Обратно, если изотопен периодическому автоморфизму который переставляет проколы на где то эллиптичен на основании следствия 1. I

Из следствий 1 и 2 сразу Получается

Следствие 3. Преобразование эллиптично тогда и только тогда, когда оно конечного порядка.

Теорема 2. Пусть ориентируемая дифференцируемая поверхность неисключительного типа и рода имеющая идеальных граничных компонент, и пусть Тогда эллиптичен и равенство достигается для некоторой поверхности в том и только том случае, когда изотопно периодическому автоморфизму При этом может принимать значения и возможно, другие значения между и зависящие от

Важно отметить, что для диффеоморфизмов изотопных периодическому диффеоморфизму, равенство может достигаться на поверхности которая не будет поверхностью конечного конформного типа. С другой стороны, справедлива

Теорема 3. Пусть и пусть Если не изотопно периодическому автоморфизму то

Доказательство. Пусть дубль поверхности универсальное накрытие Пусть связное поднятие стабилизатор в группе Тогда как уже отмечалось в п. 1.3 гл. есть расширение Нильсена поверхности

Пусть экстремальное отображение для проблемы Берса. Так как отображение Тейхмюллера, его можно продолжить на следовательно, поднять до отображения При этом Так как подгруппа сопряжена подгруппе Поэтому для некоторого имеем накрывает отображение гомотопное Заметим, что и

Так как предполагается экстремальным для проблемы Берса, то

Поэтому также экстремально для проблемы Берса и, следовательно, является отображением Тейхмюллера.

Покажем, что не могут одновременно быть отображениями Тейхмюллера. Напомним прежде всего, что отображение Тейхмюллера поверхности с краем определяется некоторой константой и ненулевым дифференциалом со на поверхности который продолжается до голоморфного дифференциала на возможно, имеющего простые полюсы в проколах. Если ввести локальные координаты, то со можно записать в виде положим

Простое вычисление показывает, что

Какова бы ни была локальная координата 2 на отношение определяет дифференциал со с точностью до положительного вещественного множителя, так как Дифференциал со продолжается до квадратичного дифференциала Так как отображение Тейхмюллера, соответствующее дифференциалу то

Но бесконечнолистное накрытие поверхности а со накрывает Отсюда следует, что

и, значит, не может быть отображением Тейхмюллера. Это противоречит нашему предположению о том, что экстремально. I

Следствие. Если поверхность неисключительного типа, отображение, неизотопное периодическому автоморфизму, то нижняя грань может достигаться только на тех конформных структурах а, для которых имеет конечный конформный тип.

Это следствие является ключевым результатом для нашего дальнейшего изучения диффеоморфизмов поверхностей, так как оно позволяет ограничиться конформными структурами для которых компактно.

Если не достигается, то приходится рассматривать минимизирующие последовательности, т. е. последовательности конформных структур на поверхности для которых Нам нужно будет показать, что

минимизирующую последовательность можно выбрать так. чтобы были конечного конформного типа. Существование такой минимизирующей последовательности вытекает из следующей теоремы.

Теорема 4. Пусть дифференцируемая поверхность и конформная структура на неисключительного типа. Обозначим через конформную структуру на 5, соответствующую бесконечному расширению Нильсена поверхности Тогда для любого диффеоморфизма имеем

Доказательство. Пусть, как и в п. 1.2 гл. есть объединение возрастающего семейства поверхностей где расширение Нильсена для . В ходе доказательства предыдущей теоремы было показано, что существует такой гомеоморфизм поверхности , для которого Итерируя, получим отображение удовлетворяющее равенству где -обычная -норма. Аналогично гл. I имеем

Остается сравнить Для этого поднимем до отображений полуплоскости на себя. Заметим теперь, что можно аппроксимировать в метрике гладкими -формами на Пусть поднятие на Тогда по теореме существования и единственности из п. 4.2 гл. I решение уравнения Бельтрами является гладким. Отображение накрывает допустимое отображение лежащее в том же гомотопическом классе, что и Так как есть отображение Тейхмюллера, принадлежащее гомотопическому классу допустимого отображения то

Отсюда следует утверждение теоремы. I

Приведенное выше доказательство является не совсем прямым и не позволяет получить более точный результат. Используя теорию квазиконформных отображений с обобщенными производными, можно непосредственно получить неравенство теоремы. Более того, можно показать, что это неравенство является строгим, кроме тех случаев, когда

конечного конформного типа. Доказательство последнего утверждения требует применения более общего варианта теоремы Тейхмюллера, чем тот, который приведен в этой книге.

Из теоремы 4 вытекает

Следствие. Если последовательность конформных структур на для которой то существует последовательность конформных структур на конечного конформного типа, такая, что