3.3. Гиперболические преобразования и инвариантные прямые

В этом пункте мы покажем, что среди всех элементов бесконечного порядка в группе гиперболические элементы выделяются тем свойством, что они имеют инвариантные прямые. Точнее, имеет место следующая

Теорема. Пусть поверхность неисключительного типа Если имеет бесконечный порядок, то следующие свойства эквивалентны: гиперболичен и

существует прямая проходящая через и такая, что

Доказательство. Так как действует в разрывно, то не имеет неподвижных точек и точки все различны между собой.

Если то пусть средняя точка сегмента, соединяющего Тогда

Так как изометрия пространства то

и, следовательно,

Применяя неравенство треугольника, получаем

Поскольку из (4) и (5) следует, что

и, значит, точки лежат на одной прямой, которую мы обозначим Так как на лежат и то инвариантна относительно

Так как инвариантна относительно то при любом натуральном Пусть тогда, пользуясь неравенством треугольника и свойством аддитивности вдоль получаем

Поэтому Поскольку не эллиптичен, он гиперболичен.

Следствие. Если гиперболичен, то имеется бесконечное множество различных конформных структур, на которых достигается

Доказательство. Значение достигается в каждой точке прямой но множество точек с конформной структурой, эквивалентной данной структуре есть -орбита Орбита счетна, нет.