4.3. Транзитивность группы дробного скручивания

Рассмотрим поверхность неисключительного типа и фиксируем ее разложение на панты с разрезающими кривыми Допустим, что поверхность имеет координаты Фенхеля — Нильсена относительно (образов) Из определения действия дробного скручивания непосредственно вытекает

Лемма. Если то элементы коммутируют

Так как отображения дробного скручивания не могут менять длин граничных кривых, то нет никакой надежды, что действие группы дробного скручивания транзитивно на при Поэтому мы сосредоточим внимание на относительном пространстве Тейхмюллера используя координаты

Теорема. Если неисключительный тип, то группа дробного скручивания транзитивна на

Доказательство. Пусть разложение поверхности на панты и имеет координаты Фенхеля-Нильсена где Введем новое обозначение, полагая если для

Каждая рассекающая кривая а, разложения 3 лежит на границе одних или двух пантов (как показано на рис. III. 4). Из этого следует, что всегда можно выбрать простую петлю так, чтобы или при Из леммы 1 и теоремы п. 4.2 следует, что если при Так как непрерывная функция от 6, то принимает все значения

Выберем Применяя предыдущее рассуждение к для некоторого выбора углов получим, что

Положим По тем же соображениям найдутся такие что для будут выполняться равенства Тогда на основании предыдущей леммы где некоторое произведение дробных скручиваний.

Рис.

Отсюда следует, что орбита относительно группы дробных скручиваний содержит Следовательно, эта группа действует транзитивно на