Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 19. Методы термодинамики и их примененияВ предыдущем параграфе была приведена без доказательства теорема Карно, выражающая максимально возможный коэффициент полезного действия теплового двигателя через температуры горячего и холодного тепловых резервуаров:
Из второго закона термодинамики следует, что КПД тепловой машины, работающей по обратимому циклу, не зависит от того, какое вещество используется в качестве рабочего тела. КПД всех обратимых тепловых машин одинаков. Убедиться в этом можно с помощью следующих рассуждений. Предположим противное, т. е. что КПД у одной из двух обратимых машин, работающих при заданных температурах Пусть теперь машина с большим КПД работает в прямом, а с меньшим КПД — в обратном направлении, т. е. как холодильная машина. За счет совершения работы А внешними телами от холодного резервуара отнимается теплота Точно такие же рассуждения покажут, что для обратимых машин окажется неверным и предположение, что Приведенное доказательство теоремы Карно основывалось на предположении об обратимости обеих тепловых машин, означающем, что любую из них можно было заставить действовать в обратном направлении. Если одна из машин, например с Независимость КПД обратимой тепловой машины от рода рабочего тела позволяет для получения формулы (1) выбрать простейшее рабочее тело — идеальный газ. Для расчета КПД цикла Карно с идеальным газом нам понадобятся выражение для работы, совершаемой идеальным газом в изотермическом процессе, и уравнение адиабаты идеального газа. Работа идеального газа в изотермическом процессе. Пусть один моль идеального газа изотермически расширяется от объема объема
Давление газа
Вывод уравнения адиабаты. Уравнение адиабаты идеального газа можно получить, используя первый закон термодинамики и уравнение состояния. Так как в адиабатическом процессе теплообмен не происходит, то первый закон термодинамики записывается в виде
Приращение внутренней энергии
С учетом приведенных выражений для
где мы воспользовались тем, что
Разделив обе части (6) на произведение
Интегрируя (8), получаем
где константа С сохраняет свое значение в течение адиабатического процесса. Это и есть уравнение адиабаты идеального газа. Его можно записать и в других переменных, например V и Г. Для этого можно просто подставить в
Аналогично уравнение адиабаты можно записать и в переменных КПД цикла Карно. Теперь у нас есть все необходимое для получения формулы (1). Рассмотрим цикл Карно с идеальным газом, показанный на рис. 59. Газ получает количество теплоты от нагревателя с температурой 71 на изотермическом участке 1—2 и отдает холодильнику с температурой
Аналогично для теплоты
Теперь для КПД цикла Карно имеем
Легко видеть, что отношение логарифмов в (13) равно единице. В самом деле, с помощью (10) для адиабат 2—3 и 4—1 имеем
Из этих равенств следует, что
В силу доказанной выше теоремы это выражение для КПД через температуры Формулу (1) можно использовать для определения термодинамической температуры, не зависящей от свойств конкретных термометрических тел. Чтобы однозначно определить термодинамическую шкалу, необходимо задать значение температуры в некоторой реперной точке. В качестве такой точки выбирается тройная точка воды. Неравенство Клаузиуса. Приведенные результаты позволяют дать второму закону термодинамики количественную формулировку в виде некоторого неравенства. Для любого кругового процесса между тепловыми резервуарами с температурами
Здесь Энтропия как функция состояния. Из (15) следует, что
Если условиться считать теплоту, получаемую рабочим телом, положительной, а отдаваемую — отрицательной, то (16) можно переписать в виде
где Неравенство (17) можно обобщить на случай любого кругового процесса, в котором рабочее тело обменивается теплотой с несколькими тепловыми резервуарами с различными температурами
Если температура на протяжении кругового процесса изменяется непрерывно, то сумма в (18) обычным образом превращается в интеграл по замкнутому пути, так как рабочее тело, пройдя через ряд промежуточных состояний, возвращается в исходное состояние:
где под В случае обратимого кругового процесса в (19) фигурирует знак равенства, т. е. интеграл по замкнутому контуру равен нулю:
Это означает, что под интегралом стоит дифференциал некоторой функции состояния термодинамической системы: сумма ее приращений вдоль замкнутого пути обращается в нуль при возвращении системы в исходное состояние. Ситуация здесь такая же, как и при введении понятия потенциальной энергии в механике, где независимость работы от формы траектории (а следовательно, равенство нулю работы по любому замкнутому контуру) свидетельствовала о существовании функции состояния механической системы — потенциальной энергии. Итак,
где ЗадачаИдеальный газ находится в одной половине теплоизолированного сосуда, разделенного перегородкой на две равные части. Определить изменение энтропии газа, если перегородка внезапно разрушается и газ заполняет весь сосуд. Решение. Поскольку газ не получает теплоты (сосуд теплоизолирован) и не совершает работы (он расширяется в вакуум и никакого перемещения окружающих тел не происходит), его внутренняя энергия остается неизменной. Внутренняя энергия идеального газа пропорциональна его температуре и не зависит от объема, поэтому температура газа в результате описанного процесса не изменяется. Происходящий с газом процесс необратим. Однако энтропия конечного состояния газа, являясь функцией состояния, не зависит от того, каким путем попал газ в это конечное состояние. Поэтому можно рассмотреть обратимый изотермический процесс, при котором газ расширяется, перемещая перегородку, пока не займет весь объем сосуда. Количество теплоты, получаемое идеальным газом при изотермическом процессе, равно совершаемой им работе:
так как Вследствие постоянства температуры изменение энтропии системы записывается в виде
Объединенное уравнение первого и второго законов. Используя (21), можно записать равенство, выражающее и первый, и второй законы термодинамики. Для обратимых процессов из (21) следует, что
Подставляя в уравнение первого закона термодинамики
количество теплоты
Если система изотропна и совершает только механическую работу, то
Формула (25), объединяющая первый и второй законы термодинамики, называется фундаментальным равенством Гиббса. Свободная энергия. Соотношение (25) выражает приращение внутренней энергии при изменении состояния системы. В качестве независимых переменных, задающих состояние термодинамической системы, могут использоваться разные макроскопические параметры. В (25) такими независимыми переменными выступают объем V и энтропия Перейти к независимым переменным Т и V можно следующим образом. Введем еще одну функцию состояния
Функцию
Подставляя сюда
Видно, что независимыми переменными, определяющими состояние, для функции
Величина Термодинамика диэлектриков и магнетиков. Полученные выше термодинамические соотношения позволяют исследовать энергетические превращения в самых разных физических системах. В частности, можно рассмотреть роль тепловых явлений в различных электромагнитных процессах. Оказывается, что, как и в случае реальных механических систем, практически любые энергетические превращения связаны с необратимым выделением теплоты. Пусть, например, заполненный диэлектриком конденсатор заряжается от некоторого источника питания. При изменении заряда конденсатора на
где через
В этом выражении
или, после подстановки
Отметим, что внутренняя энергия (32) при постоянной энтропии и добавив затем изменение внутренней энергии при постоянном зараде. Однако практически сделать это затруднительно, поскольку при адиабатическом процессе Обойти эту трудность можно, воспользовавшись вместо (32) аналогичным соотношением для свободной энергии F. В рассматриваемом случае вместо (28) имеем для
Это соотношение уже легко проинтегрировать при
Здесь С помощью полученного выражения (34) можно вернуться к внутренней энергии. Из (26) имеем
где энтропию
Здесь
Первое слагаемое в правой части (37) — это внутренняя энергия незаряженного конденсатора В электростатике при выводе выражения для энергии заряженного конденсатора мы пренебрегали тепловыми процессами и считали, что энергия заряженного конденсатора равна работе электрических сил, совершаемой при его зарядке. При этом для энергии конденсатора получалось выражение видно, что это справедливо только в том случае, когда диэлектрическая проницаемость Предположим, что процесс зарядки конденсатора происходит изотермически. В этом случае изменение внутренней энергии, определяемое вторым слагаемым в правой части (37), не равно работе внешних сил Совершенно аналогично можно рассмотреть тепловые процессы, сопровождающие намагничивание и размагничивание магнетиков. Адиабатическое размагничивание парамагнитных солей используется в криогенной технике как метод получения наиболее низких температур, близких к абсолютному нулю. Зависимость внутренней энергии от объема. Информацию о связи различных термодинамических характеристик можно получать из общих соотношений типа (25) и (28) с помощью формальных математических приемов. Например, с помощью этих соотношений легко найти закон зависимости внутренней энергии системы от ее объема. Действительно, разделив (25) на приращение объема
Но из (28) следует, что
Если известно уравнение состояния • Проведите доказательство теоремы Карно с помощью таких рассуждений от противного, в которых использовался бы второй закон термодинамики в формулировке Клаузиуса. • Почему при выводе уравнения адиабаты (9) величину у в дифференциальном уравнении (8) можно считать постоянной? • Почему при выборе общей формулы (1) для КПД теплового двигателя рассматривается частный случай — цикл Карно с идеальным газом? • Поясните, почему неравенство Клаузиуса (15) или (16) можно рассматривать как альтернативную формулировку второго начала термодинамики. • Поясните, каким образом из соотношения (20) следует вывод о существовании некоторой функции состояния. • Почему выражение (21), связывающее приращение энтропии с передаваемой теплотой, справедливо только для обратимых процессов? • Почему уравнение (24) или (25) можно рассматривать как соотношение, выражающее и первый и второй законы термодинамики? • Покажите, что работа идеального газа при адиабатическом расширении может быть найдена по формуле
• При каких условиях работа внешних сил над термодинамической системой равна изменению свободной энергии? • Почему при формулировке закона сохранения энергии в термодинамике используют понятие внутренней энергии, а не свободной энергии? • Поясните, почему при адиабатической зарядке конденсатора с диэлектриком его температура повышается, когда • Поясните, как методами термодинамики доказать, что внутренняя энергия идеального газа не зависит от его объема.
|
1 |
Оглавление
|