§ 9. Законы движения в квантовой физике

Итак, мы видели, что многие явления в микромире не описываются классической физикой и, пользуясь соотношениями неопределенностей Гейзенберга, можно установить границы применимости классического способа описания при рассмотрении тех или иных конкретных явлений. В тех случаях, когда классическое описание

оказывается непригодным, необходим более совершенный способ описания физических явлений, который должен учитывать возможность проявления изучаемыми объектами как корпускулярных, так и волновых свойств.

Современная квантовая теория ведет свое начало с 1926 г., когда Э. Шрёдингером было предложено уравнение, носящее ныне его имя и лежащее в основе квантовой механики. Разумеется, изложение квантовой механики выходит за рамки школьного курса физики, но мы можем обсудить разобранные выше экспериментальные факты и четко сформулировать, какой должна быть квантовая теория, способная последовательно объяснить все своеобразие явлений микромира.

Роль средств наблюдения в квантовой физике. Обсуждая причины неприменимости представлений классической физики в микромире, мы видели, что эта неприменимость обусловлена рядом абстракций, допускавшихся в классической физике. В классической физике молчаливо предполагалась независимость физических процессов от способов наблюдения и возможность наблюдать одновременно все стороны данного процесса. В области квантовых явлений это не так. Вспомните, например, опыт с дифракцией фотонов на двух щелях: определяя, через какое отверстие проходит каждый фотон, мы этим измерением принципиально изменяли протекание физического процесса, так что дифракционная картина на экране оказывалась полностью размытой.

Анализируя этот опыт, мы приходим к выводу, что основой нового способа описания явлений должен быть явный учет реальных возможностей измерений, проводимых над микрообъектами. Необходимым посредником при изучении таких объектов являются приборы: атомный объект может проявить свои свойства, только провзаимодействовав с прибором. Например, путь микрочастицы становится видимым в результате конденсации паров в камере Вильсона или в результате почернения зерен фотоэмульсии, и т. При этом приборы и условия опыта должны описываться классически, путем задания значений параметров, характеризующих приборы. Параметры этих приборов могут, разумеется, задаваться лишь с точностью, допускаемой соотношениями неопределенностей.

Вероятность в классической и квантовой физике. В основу нового способа описания поведения микрообъекта следует положить результаты взаимодействия этого объекта с классически описываемым прибором. Свойства атомного объекта выводятся из рассмотрения результатов таких взаимодействий. Это не исключает возможности введения таких величин, которые характеризуют сам микрообъект независимо от прибора (заряд, масса частицы и т. но в то же время позволяет изучать поведение объекта с той его стороны (например, корпускулярной или волновой), проявление которой обусловлено устройством прибора. Таким образом, появляется

возможность рассматривать и тот случай, когда разные стороны и разные свойства объекта не проявляются одновременно. По Бору, свойства, проявляющиеся при взаимно исключающих условиях (вспомните обсуждение корпускулярно-волнового дуализма), дополняют друг друга в том смысле, что только их совокупность характеризует объект полностью. В этом заключается сформулированный Н. Бором принцип дополнительности, который сыграл огромную роль в обосновании современной квантовой теории. Рассматривать одновременное проявление дополнительных свойств не имеет смысла. Таким образом, в новом подходе и не возникает внутреннего противоречия в понятии «корпускулярно-волновой дуализм».

Итак, в основе описания — результаты взаимодействия микрообъекта с прибором. Но опыт показывает, что при данных внешних условиях результат взаимодействия объекта с прибором не является однозначно определенным, а обладает лишь некоторой вероятностью. Вспомните тот же дифракционный опыт: каждый фотон попадал в определенное место экрана, но предсказать точно, в какое именно, было невозможно; существовала лишь определенная вероятность попадания фотона в то или иное место. Таким образом, в описание микрообъекта, его состояния и поведения вводится новый элемент — понятие вероятности, а тем самым и понятие потенциальной возможности.

Понятие вероятности используется и в классической физике при изучении свойств систем, состоящих из большого числа частиц. Вероятности вводятся тогда, когда условия опыта не известны полностью и по неизвестным параметрам приходится проводить усреднение. Например, при рассмотрении движения молекул в газе нам неизвестны координаты и скорости каждой молекулы. Поэтому можно предсказать только вероятность попадания частицы в то или иное место. В классической физике вероятности отражают неполноту формулировки задачи, которая, быть может, практически и неизбежна, но в принципе устранима.

Описание состояния системы в квантовой физике. В квантовой физике вероятности имеют совсем иной характер. Здесь они принципиально необходимы; их введение характеризует не полноту условий, а объективно существующие при данных условиях потенциальные возможности. Следует отметить, что в процессе создания квантовой теории высказывалась точка зрения, что введение понятия вероятности и в квантовой механике все-таки связано с тем, что на самом деле микрообъекты обладают определенной, не известной нам внутренней структурой. Поэтому в квантовой механике, как и в статистической физике, приходится считать, что переменные, описывающие эту внутреннюю структуру, распределены случайным образом. Иными словами, в квантовую теорию понятие вероятности вводится только потому, что она не является полной; она станет полной только тогда, когда будут найдены величины, характеризующие внутреннюю структуру частиц.

Но в настоящее время можно утверждать, что квантовая теория, основанная на понятии вероятности результата взаимодействия объекта с прибором, оказалась исключительно успешной и, наоборот, нет никаких экспериментальных фактов, которые свидетельствовали бы о неполноте квантовомеханического описания поведения микрообъектов.

Продолжим обсуждение основ квантовой теории. Из сказанного выше ясно, что задать состояние квантового объекта — значит задать распределение вероятностей, или потенциальных возможностей получения того или иного результата взаимодействия объекта с прибором. То обстоятельство, что должны задаваться вероятности также и для тех величин, измерения которых несовместимы, показывает, что речь идет именно о потенциальных возможностях, а не о значениях величин самих по себе, вне связи с условиями их измерения на опыте.

Принцип соответствия. Теперь можно сказать несколько слов и о том, каким должен быть математический аппарат квантовой теории по сравнению с математическим аппаратом классической физики. В классической физике математический аппарат должен давать значения определенных физических величин, т. е. числа. В квантовой теории математический аппарат должен давать не только возможные значения физических величин, но и вероятности получения на опыте тех или иных возможных значений этих величин.

В квантовой теории сформулированные требования могут быть выполнены следующим образом. Состояние изучаемой системы характеризуется определенной функцией, называемой волновой или -функцией. Волновая функция характеризует состояние системы в том смысле, что через эту функцию выражаются все вероятности для результатов измерения над системой. Волновая функция определяется из уравнения Шрёдингера — основного уравнения квантовой механики. Каждой физической величине сопоставляются определенные математические операции, которые следует проделать над -функцией, чтобы получить необходимую информацию. Отсюда возникает понятие оператора соответствующей физической величины. В квантовой механике каждой физической величине, например энергии, координате, импульсу, сопоставлен определенный оператор.

Как выбираются сами операторы? При построении квантовой теории огромную роль сыграл так называемый принцип соответствия, сформулированный Бором: законы квантовой физики должны быть сформулированы таким образом, чтобы в классических границах, когда, например, в изучаемый процесс вовлечено много квантов, эти законы приводили бы к классическим уравнениям для усредненных величин. Использование принципа соответствия позволило найти вид операторов, сопоставляемых определенным физическим величинам. Но общих правил составления операторов для физических величин указать нельзя.

Требование удовлетворения принципу соответствия отнюдь не является тривиальным. Возникает вопрос, как согласовать

квантовый подход, основанный на рассмотрении вероятностей, с классическим, допускающим точное предсказание поведения системы. Рассмотрим с этой точки зрения уже разобранный выше пример рассеяния фотонов свободными электронами. Как видно из формулы (11) § 6 «Световые кванты», увеличение длины волны при единичном акте рассеяния фотона равно что примерно составляет см. Это слишком маленькая величина, чтобы ее можно было заметить при рассеянии радиоволн с длиной волны порядка 1 см и больше. Соответствующие таким волнам частоты оказываются порядка так что энергия одного фотона составляет или эВ. Легко подсчитать, какую наибольшую энергию может приобрести электрон в результате рассеяния одного такого фотона. С помощью формулы (10) § 6 находим, что составляет Для того чтобы в результате рассеяния радиоволн приобрести энергию всего в 1 эВ, электрон должен рассеять по меньшей мере 1014 квантов! Разумеется, нельзя точно предсказать результат каждого индивидуального акта рассеяния. Но результаты рассеяния такого большого числа квантов, которое фактически представляет собой непрерывный процесс, практически вполне определенные и совпадают с тем, что дает для этого случая классическая электродинамика.

Мы построили качественную картину квантовой механики и пояснили на примере, что в пределе, при переходе к классическим условиям, результаты квантовой теории переходят в результаты, даваемые классической физикой. С помощью соотношений неопределенностей можно делать оценки границы применимости законов классической физики. Однако эта граница не является четко очерченной, и развитие физики не раз давало примеры вторжения квантовых эффектов в область, кажущуюся абсолютно классической. С некоторыми из этих примеров мы еще встретимся ниже.

• Объясните, чем обусловлена особая роль средств наблюдения в квантовой физике по сравнению с классической.

• Разъясните содержание принципа дополнительности Бора. Каким образом этот принцип снимает противоречия в понятии «корпускулярно-вол-новой дуализм»?

• В чем принципиальное различие использования понятия вероятности в классической и в квантовой физике?

• Как задается состояние физической системы в квантовой физике?

• Чем отличаются требования к математическому аппарату в классической и в квантовой физике?

• Что такое волновая функция и что такое оператор физической величины?

• В чем заключается принцип соответствия Бора? Поясните его роль в физике.