II. ЗАКОНЫ МИКРОМИРА. ЧАСТИЦЫ И ВОЛНЫ

§ 6. Световые кванты

Одна из величайших революций в физике, связанная с открытием квантовых закономерностей, пришлась на начало XX столетия. Оказалось, что ряд экспериментальных фактов, относящихся к атомным явлениям, в принципе невозможно объяснить в рамках классической механики и электродинамики, получивших к этому времени вполне законченный вид.

Фотоэлектрический эффект. Наиболее ярко ограниченность представлений классической физики обнаружила себя в явлении фотоэффекта, открытого Г. Герцем и впервые подробно исследованном А. Г. Столетовым.

Явление фотоэффекта заключается в вырывании электронов из вещества падающим на него светом. Основные черты этого явления сводятся к следующему. Пучок света, падающий на поверхность металла, освобождает из металла электроны при условии, что частота света выше определенного критического значения, зависящего от рода металла. Количество вырываемых в единицу времени электронов при неизменном спектральном составе излучения пропорционально падающему на поверхность металла световому потоку.

Рис. 15. Простейший опыт по наблюдению фотоэффекта

К моменту открытия фотоэффекта в 1887 г. еще ничего не было известно об электронах, открытых Дж. Томсоном только десять лет спустя в 1897 г. Однако экспериментально было установлено, что металл при освещении теряет именно отрицательный заряд.

Экспериментальные закономерности фотоэффекта. Простейший способ наблюдать фотоэффект — это освещать ультрафиолетовым излучением заряженную цинковую пластину, соединенную с электрометром (рис. 15). Если заряд пластины положительный, то облучение ее никак не влияет на быстроту разрядки электрометра. Но если заряд пластины отрицательный, то излучение электрической дуги очень быстро разряжает электрометр.

Рис. 16. Схема экспериментальной установки для изучения фотоэффекта

Рис. 17. Зависимость силы фототока от приложенного напряжения при неизменном световом потоке

Сразу после открытия электрона стало ясно, что фотоэффект связан именно с освобождением имеющихся в металле электронов. Если электроны, испускаемые одним электродом (их обычно называют фотоэлектронами), собрать на другом электроде в вакуумной колбе и замкнуть между электродами цепь (рис. 16), то сила тока в ней будет пропорциональна световому потоку. Весь процесс протекает практически мгновенно, т. е. безынерционно.

Если, не меняя светового потока, увеличивать разность потенциалов между электродами, то сила тока (фототока) нарастает. При некотором напряжении она достигает определенного максимального значения, после чего перестает увеличиваться (рис. 17). Это максимальное значение фототока называется током насыщения. Ясно, что насыщение фототока наступает тогда, когда все испускаемые фотоэлектроны попадают на второй электрод.

Освобожденные из металла светом электроны обладают некоторой кинетической энергией. Эта энергия возрастает с увеличением частоты падающего света.

Кинетическая энергия фотоэлектронов. Остановимся на том, как можно измерить кинетическую энергию фотоэлектронов. Из графика на рис. 17 видно, что сила фототока отлична от нуля и при отсутствии приложенного напряжения. Если изменить полярность батареи, то ток уменьшится и при некотором напряжении сила

тока обратится в нуль. Это так называемое задерживающее напряжение, при котором все вырванные светом электроны возвращаются на катод, из которого они были вырваны. Значение зависит от максимальной кинетической энергии, которую имеют вырванные светом электроны. Измеряя задерживающее напряжение и применяя закон сохранения энергии, можно найти это максимальное значение кинетической энергии:

При изменении интенсивности света сила тока насыщения также изменяется, но, как показали опыты, задерживающее напряжение остается неизменным. Это означает, что максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов не зависит от интенсивности света (при его неизменном спектральном составе). С точки зрения волновых представлений о свете этот факт необъясним. Ведь чем больше интенсивность света, тем большие силы действуют на электроны в освещенном металле и тем большая энергия должна, казалось бы, передаваться светом электронам.

Тщательные опыты показали, что кинетическая энергия электронов, испускаемых поверхностью металла, освещаемой видимым или ультрафиолетовым светом, не зависит от интенсивности излучения, а зависит лишь от рода металла и от частоты излучения Теоретическое объяснение наблюдаемой закономерности было дано в 1905 г. А. Эйнштейном на основе гипотезы Планка о том, что свет излучается определенными порциями, причем энергия каждой такой порции определяется формулой

Соотношение Планка. Эта формула была предложена Планком при разработке теории теплового излучения. Последовательное применение классической электродинамики к этой проблеме приводило к физически бессмысленному выводу о том, что спектральная плотность излучения нагретого тела должна неограниченно возрастать в области высоких частот. Этот парадоксальный вывод из классических представлений получил образное название «ультрафиолетовой катастрофы».

Такое противоречие теории и эксперимента не возникает, если предположить, что вещество испускает электромагнитную энергию не непрерывно, а отдельными порциями — квантами, энергия которых пропорциональна частоте излучения:

Коэффициент пропорциональности получил название постоянной Планка. Числовое значение постоянной Планка равно Построенная Планком теория теплового излучения превосходно согласуется с экспериментом, однако положенное в

основу этой теории предположение означает, что законы классической физики неприменимы к описанию явления теплового излучения.

Уравнение Эйнштейна. Описывающее фотоэффект уравнение Эйнштейна выражает закон сохранения энергии в элементарном акте взаимодействия светового кванта, имеющего энергию с электроном металла:

В этом выражении А — так называемая работа выхода электрона из металла, т. е. минимальная энергия, необходимая для удаления электрона из металла, — максимальная кинетическая энергия освобождаемого электрона.

Из уравнения (1) можно сделать вывод, что свет с частотой меньшей некоторого значения определяемого соотношением вообще не может вызывать фотоэффект в веществе с данным значением работы выхода, так как энергия кванта оказывается меньше работы выхода. Эта частота определяет так называемую красную границу фотоэффекта. У цинка красная граница фотоэффекта приходится на ближнюю ультрафиолетовую область спектра. У некоторых других металлов, например у натрия и калия, эта граница лежит в видимой области спектра.

Детальное изучение опытных данных показало, что в выражении (1) действительно совпадает с универсальной постоянной Дж с, значение которой впервые было найдено из опытов по спектральному составу теплового излучения.

Корпускулярные и волновые свойства света. Попытаемся понять, почему электрон обычно поглощает только один квант энергии независимо от интенсивности излучения. Самое простое объяснение этого явления заключается в следующем: свет состоит из частиц, т. е. из излученных порций световой энергии которые сохраняют свою индивидуальность в процессе распространения и в дальнейшем, при столкновении с электроном, передают ему всю свою энергию.

Это предположение подкрепляется различными опытами, например такими, когда на фотопластинку направляются лучи очень низкой интенсивности. На пластинке получаются хаотически разбросанные темные точки, распределенные со средней плотностью, пропорциональной интенсивности света. Для очень интенсивного пучка распределение точек становится настолько плотным, что они практически сливаются. При такой интенсивности пучка света дискретность

актов взаимодействия света с фотопластинкой уже не проявляется, и пучок становится похожим на то, что в классической физике называется световой волной.

Хотя предположение, что свет состоит из локализованных частиц, позволяет просто объяснить фотоэлектрический эффект, оно не согласуется с огромной совокупностью экспериментов, приводящих к выводу, что свет является формой волнового движения. Вспомним чередование интенсивности дифракционных полос света, падающего на экран после прохождения через одну или несколько щелей. Часто имеет место такое явление, что при двух открытых щелях, близких друг к другу, интенсивность света в некоторых местах экрана будет очень мала, в то время как в тех же местах при пропускании света только через одну щель наблюдается высокая интенсивность. Эти результаты легко объясняются предположением, что свет представляет собой волны, которые, интерферируя, могут усиливаться или ослабляться. Но их совершенно невозможно объяснить, если предположить, что свет состоит из классических частиц-корпускул. Такие частицы должны были бы проходить или через одну, или через другую щель, и наличие второй щели едва ли могло бы влиять на характер движения частиц, проходящих через первую щель.

Невозможность классического объяснения фотоэффекта. Можно ли объяснить закономерности фотоэффекта исходя из волновых представлений о свете? Попробуем рассмотреть фотоэффект с классической точки зрения. Взаимодействуя с электроном, находящимся внутри атома, излучение передает ему свою энергию. Электрон будет поглощать энергию световой волны, пока он не освободится из атома. Объяснить уравнение (1) можно, предположив, что свойства атома таковы, что электрон будет сохранять полученную от света энергию и находиться в атоме до тех пор, пока не накопит ее до величины после чего покидает атом. Если бы атом действительно обладал такими свойствами, то для света с очень маленькой интенсивностью фотоэффект не должен был бы наблюдаться в течение очень долгого времени, так как должно было бы пройти значительное время, чтобы накопилась необходимая порция энергии. Соответствующие опыты проводились с металлическими пылинками и очень слабым светом. Пылинки были настолько малы, что потребовалось бы много часов для накопления энергии Однако немедленно после начала их освещения появлялось некоторое количество фотоэлектронов. Итак, эта попытка объяснения не удалась.

Такова же была судьба всех остальных подобных попыток объяснения закономерностей фотоэффекта на основе волновых представлений. Это означает, что волновая теория не способна объяснить внезапную локализацию конечных порций энергии на одной классической частице.

Двойственная природа света. Обобщение данных различных опытов привело к следующим не известным ранее важным выводам: во-первых, к представлению о двойственном характере электромагнитного излучения, проявляющего то волновые, то корпускулярные свойства, и, во-вторых, к утверждению о существовании дискретных значений некоторых из тех физических величин, которые, по представлениям классической физики, могли меняться непрерывно.

Итак, одна группа опытов указывает, что свет — это частицы, которые могут быть локализованы; другая же группа не менее убедительных опытов доказывает, что свет — это волны. Какое же из этих утверждений правильно? Вопрос стоит так: можно ли найти единое представление, объясняющее все наши сведения о природе света? Позже мы вернемся к обсуждению этого вопроса, а пока будем просто считать, что свет существует в форме квантов-фотонов, которые при некоторых условиях проявляют себя подобно частицам, а при других — подобно волнам.

Фотоны. Мы уже подробно рассматривали волновые свойства света. Теперь рассмотрим более детально свет с корпускулярной точки зрения. В теории Планка энергия фотона Е связана с частотой света соотношением

Согласно теории относительности энергия всегда связана с массой соотношением

Поэтому релятивистская масса фотона

Поскольку фотоны не существуют в состоянии покоя, то их масса покоя а масса определяемая формулой (3), это масса фотона, движущегося в вакууме со скоростью с. Импульс фотона равен произведению его релятивистской массы на скорость:

Отметим, что формула (4), дающая связь между энергией фотона Е и его импульсом является частным случаем общего соотношения, связывающего энергию, импульс и массу покоя любой частицы:

Эффект Комптона. Опыт показывает, что свет может взаимодействовать с веществом только путем дискретных процессов, при которых испускается или поглощается целый квант. С корпускулярной точки зрения взаимодействие между веществом и светом описывается как поглощение, испускание или рассеяние фотонов, сопровождающееся изменением их энергии и импульса. Экспериментально рассеяние фотонов на электронах было исследовано

А. Комптоном в . В его опытах через вещество с легкими атомами (графит, парафин) пропускался пучок рентгеновских лучей частоты Измерения Комптона показали, что в рассеянном рентгеновском свете, наряду с излучением неизменной длины волны, появляется рентгеновское излучение с несколько большей длиной волны. Наблюдаемое изменение длины волны зависит от угла между направлением первичного пучка и направлением рассеянного света следующим образом:

причем постоянная к, найденная из эксперимента, равна 0,0024 нм.

Законы сохранения в эффекте Комптона. Для объяснения эффекта Комптона применим законы сохранения энергии и импульса к столкновению рентгеновского фотона с электроном, как если бы фотон представлял собой обычную частицу. В атомах легких элементов для удаления электрона нужна энергия порядка 10 эВ, что примерно в тысячу раз меньше энергии рентгеновского кванта Поэтому электроны в этих опытах можно считать практически свободными. Энергия покоя электрона МэВ и отношение Следовательно, покоившийся до столкновения с фотоном или двигавшийся в атоме с нерелятивистской скоростью электрон и после столкновения останется нерелятивистским. Закон сохранения энергии при столкновении в пренебрежении начальной энергией электрона записывается в виде

где — импульс электрона после столкновения с фотоном. Закон сохранения импульса

где — импульсы фотона до и после рассеяния, запишем с помощью теоремы косинусов (рис. 18) в виде

Рис. 18. К объяснению эффекта Комптона

Подставляем в это равенство выражение для импульса фотона через его частоту и квадрат импульса электрона из закона сохранения энергии (6):

Переписав это уравнение в виде

и учитывая, что видим, что изменение частоты мало по сравнению с самой частотой Поэтому в правой части (9) можно заменить на Тогда для относительного сдвига частоты при рассеянии сразу получаем

Знак показывает что частота рентгеновского излучения при рассеянии уменьшается. Это естественно, поскольку фотон отдает часть своей энергии электрону. Теперь перейдем от частот к длинам волн. Это легко сделать, учитывая, что относительное изменение частоты при рассеянии мало: Тогда

Так как то из этого выражения имеем и соотношение (10) переписывается в виде

Эта формула совпадает с (5), ибо величина как легко убедиться, как раз равна 0,0024 нм. Эта имеющая размерность длины комбинация трех универсальных постоянных получила название комптоновской длины волны электрона.

Интересно отметить, что изменение длины волны рентгеновского излучения в явлении Комптона, как видно из (11), не зависит от длины волны падающего излучения. А как объяснить существование в спектре рассеянного излучения еще и несмещенной линии? Все дело в том, что внутренние электроны, особенно в тяжелых атомах, связаны настолько прочно, что энергия, необходимая для их удаления, уже сравнима с энергией рентгеновских квантов и, следовательно, внутренние электроны нельзя рассматривать как свободные. Поэтому при соударении фотон обменивается энергией и импульсом с атомом в целом, а так как масса атома очень велика, то по закону сохранения импульса фотон практически не передает ему своей энергии. Следовательно, энергия кванта при таком рассеянии не изменяется. Гамма-кванты, рассеянные

внутренними электронами, образуют несмещенную компоненту, а внешними — смещенную. Из приведенных рассуждений ясно, почему эффект Комптона нельзя наблюдать в видимой области спектра. Дело в том, что энергия фотона видимого света составляет лишь несколько электрон-вольт Для такого света даже внешние электроны в легких атомах нельзя считать свободными.

Дискретный характер взаимодействия света с электронами. Опыты Комптона ярко продемонстрировали, что энергия и импульс фотона действительно выражаются формулами (2) и (4), а также то, что законы сохранения энергии и импульса выполняются при индивидуальных процессах рассеяния. Законы сохранения могут быть проверены еще более полно, если исследовать электроны отдачи. Соответствующие измерения показали, что при этом электроны приобретают те же самые импульс и энергию, которые теряет фотон.

Как и в случае фотоэффекта, объяснить особенности явления Комптона исходя из волновой точки зрения на свет не удается. Взаимодействуя с электромагнитной волной, классический электрон мог бы получать любое количество энергии. В спектре рассеянного излучения при наблюдении под заданным углом можно было бы обнаружить различные значения для изменения длины волны при изменении интенсивности излучения или времени экспозиции. Однако в опытах было однозначно показано, что при заданном значении угла наблюдается только одно значение смещения длины волны независимо от интенсивности излучения и времени облучения. Эти факты указывают на то, что процесс передачи энергии и импульса является не непрерывным, как это предсказывает классическая теория, а дискретным.

Корпускулярное объяснение эффекта Доплера. Но не всегда вопрос о природе света стоит так категорично: или кванты, или классические волны. Существует ряд явлений, допускающих корректное объяснение с любой из этих точек зрения. Таков, например, рассмотренный ранее эффект Доплера. Это типично волновое, на первый взгляд, явление может быть объяснено с точки зрения представления о свете как о потоке фотонов. Покажем это. Пусть «закрепленный» неподвижный атом испускает фотон с энергией при переходе атома из одного состояния с определенной энергией в другое. Разность энергий этих состояний не зависит от того, покоится атом или движется.

При испускании фотона свободно движущимся атомом импульс атома изменяется, поскольку испущенный фотон обладает импульсом. Следовательно, кинетическая энергия атома также изменяется. Энергия фотона испущенного движущимся атомом, отличается от вследствие изменения кинетической энергии атома.

На основании закона сохранения энергии

где — импульс атома до испускания фотона, — после испускания, М — масса атома.

Рис. 19. К объяснению эффекта Доплера при испускании фотона движущимся атомом

Начальный и конечный импульсы атома можно связать с импульсом испускаемого фотона с помощью закона сохранения импульса (рис. 19):

Перенося в равенстве (13) в левую часть, возводя полученное равенство в квадрат и учитывая, что импульс фотона крайне мал по сравнению с импульсом излучающего атома, получаем

С помощью (14) соотношение (12) можно переписать в виде

Подставляя в (15) импульс испущенного фотона и учитывая, что есть скорость движения излучающего атома, находим

откуда

с точностью до членов порядка Это есть обычное, нерелятивистское выражение для явления Доплера.

Изложенные здесь факты говорят о том, что основанные на классической физике представления о природе света требуют радикального пересмотра.

• Перечислите основные экспериментальные закономерности фотоэффекта. Какие из них вступают в противоречие с основными представлениями классической физики?

• Объясните физический смысл уравнения Эйнштейна для фотоэффекта. Какова связь этого уравнения с законом сохранения энергии?

• Как связана энергия кванта света с его частотой и с длиной волны?

• Какие из известных вам опытов свидетельствуют о волновых свойствах света?

• Какие опыты со светом не допускают объяснения на основе волновых представлений?

• В чем проявляется двойственный характер света?

• Как связаны между собой энергия и импульс фотона?

• Как проявляются корпускулярные свойства электромагнитного излучения в явлении Комптона?

• На чем основана корпускулярная трактовка явления Доплера?

• Какие явления свидетельствуют о том, что законы сохранения энергии и импульса выполняются в элементарных актах взаимодействия света с веществом?