VI. АТОМЫ И ИЗЛУЧЕНИЕ

§ 28. Излучение света атомами

В предыдущей главе основы статистической механики применялись для описания наблюдаемых свойств таких макроскопических систем многих частиц, где каждая из частиц подчинялась законам классической механики. В данной главе будут рассматриваться макроскопические системы, состоящие из частиц, подчиняющихся квантовым закономерностям.

Квантовая механика позволяет только на основании известного заряда атомного ядра, а тем самым и числа электронов, найти стационарные состояния электронов в свободном атоме и рассчитать многие свойства атомов, в том числе их оптические спектры. Кроме того, на основе квантовой механики можно рассчитать изменение стационарных состояний атома под действием внешних электрических и магнитных полей. Экспериментально эти изменения проявляются в спектрах испускания и поглощения света атомами. Изменения спектра под действием внешнего магнитного поля (явление Зеемана) и под действием электрического поля (явление Штарка) являются эффективными средствами изучения структуры вещества.

Размер атома и длина волны. Излучаемый атомом свет имеет длину волны, составляющую несколько тысяч ангстрем, что на три порядка превосходит размер атома. Покажем, что большая длина волны излучения является прямым следствием малости постоянной тонкой структуры характеризующей силу взаимодействия электрона с электромагнитным полем.

Расстояние между уровнями энергии оптического электрона, определяющее согласно формуле частоту излучаемого атомом света, по порядку величины равно энергии связи электрона в атоме водорода Поэтому длина волны излучения X равна

Выделим в этом выражении боровский радиус характеризующий размер излучающего атома. Тогда остающийся

множитель равен обратной величине постоянной тонкой структуры:

Большая длина волны излучения по сравнению с размером атома имеет, как мы увидим, важные физические следствия, заключающиеся в том, что спектральные линии излучения имеют малую ширину, а время жизни атома в возбужденном состоянии велико по сравнению с периодом колебаний в излучаемой волне.

Стационарные состояния атомов, определяемые квантовой механикой, являются дискретными. Им соответствуют строго определенные значения энергии. Находящийся в возбужденном стационарном состоянии атом в отсутствие внешних воздействий, согласно квантовой механике, должен оставаться в этом состоянии сколь угодно долго. Однако опыт показывает, что это не так: спустя некоторое время возбужденный атом самопроизвольно переходит в основное состояние, испуская при этом квант света. Такое излучение называется спонтанным.

Спонтанное излучение. Рассмотрим спонтанное излучение атомов подробнее. Покажем, что при спонтанном переходе в основное состояние атом испускает цуг волн конечной протяженности. Это в свою очередь означает, что излучаемый им свет не является строго монохроматическим, а распределен в некотором частотном интервале. Другими словами, спектральные линии, соответствующие спонтанному излучению атома, имеют некоторую конечную ширину. Это так называемая естественная ширина спектральных линий.

Для простоты будем рассматривать случай, когда спонтанное излучение происходит при переходах электрона между состояниями с большими квантовыми числами. Тогда на основании принципа соответствия процесс излучения света электроном можно рассматривать классически. Как было показано, предсказываемый квантовой теорией спектр излучения атома водорода при больших квантовых числах совпадает со спектром, предсказываемым классической теорией излучения: обращающийся по орбите электрон излучает свет, частота которого равна частоте обращения электрона.

Классическая модель спонтанного излучения. Излучая электромагнитные волны, атом теряет энергию. Радиус орбиты электрона при этом постепенно уменьшается, что на квантовом языке соответствует переходу из состояния с более высокой энергией в более низкое квантовое состояние. Оценим время, в течение которого происходит этот переход.

Движение электрона по круговой орбите можно представить как суперпозицию двух гармонических взаимно перпендикулярных колебаний, сдвинутых друг относительно друга по фазе на Амплитуда

этих колебаний равна радиусу орбиты, т. е., по порядку величины, размеру излучающего атома. Движущийся с ускорением заряд излучает электромагнитные волны, поэтому с каждым из этих колебаний связана электромагнитная волна. Так как длина волны велика по сравнению с размером атома, т. е. с амплитудой колебаний электрона, то для описания излучения атома можно воспользоваться результатами, полученными при рассмотрении излучения движущегося заряда.

Рис. 94. К усреднению по направлениям плотности потока излучаемой энергии

Обе излучаемые вращающимся электроном волны поляризованы во взаимно перпендикулярных направлениях, они не интерферируют, и поэтому их можно рассматривать отдельно. Найдем мощность, уносимую каждой из этих волн. Среднее по времени значение плотности потока энергии волны на расстоянии от атома дается формулой (10) § 28 книги 2.

Так как в рассматриваемом случае величина заряда равна заряду электрона то в этой формуле следует заменить на после чего она принимает вид

Чтобы найти полную мощность, излучаемую по всем направлениям, можно усреднить (3) по углу и умножить полученный результат на Как видно из рис. 94,

Так как усреднение выражения (4) по всем направлениям дает

Поэтому полная излучаемая осциллятором мощность Р равна

Излучаемая атомом мощность вдвое больше. Заменяя в (5) амплитуду колебаний А на боровский радиус и отбрасывая несущественный при оценках множитель 2/3, получаем для излучаемой атомом мощности Р следующее приближенное выражение:

Время жизни возбужденного атома. Теперь мы можем оценить промежуток времени х, в течение которого продолжается единичный акт излучения, т. е. испускается один фотон с энергией

С точки зрения классической физики атом начинает излучать сразу же после того, как он попадает в возбужденное состояние, и этот процесс длится в течение времени х. По квантовой теории излучение фотона и переход атома в основное состояние происходит скачком. В какой именно момент времени это произойдет, неизвестно. Момент самопроизвольного испускания фотона есть случайная величина, а время х можно понимать как среднее время жизни атома в возбужденном состоянии.

Из формулы (7) видно, что обусловленное спонтанным излучением время жизни атома в возбужденном состоянии обратно пропорционально кубу частоты излучения.

Рассмотрим произведение которое с точностью до множителя дает отношение времени жизни возбужденного атома к периоду колебаний. Согласно классическим представлениям определяет число колебаний за время высвечивания. Другими словами, это есть число волн в отдельном излучаемом атомом цуге. С помощью (7) имеем

Произведение равно скорости электрона на орбите в атоме. В боровской модели атома равно постоянной тонкой структуры а. Поэтому выражение для принимает вид

Так как то Для оптических частот Отсюда получаем для времени излучения оценку .

Таким образом, в отдельном излучаемом атомом цуге содержится около 10 миллионов волн. Пространственная протяженность такого цуга составляет несколько метров. Это означает, что соответствующая спонтанному излучению свободного атома спектральная линия имеет конечную естественную ширину связанную с длительностью отдельного цуга х соотношением (5) § 34 книги 2, где рассматривалась связь длительности цуга волн с интервалом соответствующих ему частот:

Согласно формуле (8) отношение естественной ширины Лео к частоте линии со равно

Ширина спектральных линий. На опыте положение уровней энергии атома определяется по наблюдению спектральных линий. Так как линия излучения имеет конечную ширину, то частота излучения и, следовательно, энергия возбужденного состояния атома не имеют строго определенного значения. Ширина возбужденного уровня энергии равна произведению постоянной Планка на ширину спектральной линии А со, излучаемой при переходе с этого уровня:

Отношение ширины возбужденного уровня к расстоянию между уровнями, как видно из (10), равно всего одной десятимиллионной.

Таким образом, из-за спонтанных переходов возбужденные уровни энергии атома имеют хотя и малую, но конечную ширину, а даваемые квантовой механикой строго дискретные значения энергии этих уровней следует понимать как средние значения. Бесконечно узким является только наинизший уровень энергии, соответствующий основному состоянию атома. Возбужденные состояния атома, строго говоря, не являются стационарными. Они получаются строго дискретными тогда, ковда рассматривается изолированный атом. Для получения истинной картины необходимо даже свободный атом рассматривать вместе с электромагнитным полем.

Ширина линий и соотношение неопределенностей. Уширение возбужденных уровней энергии атома вследствие спонтанных переходов находится в полном соответствии с соотношением неопределенностей Бора—Гейзенберга. Подставляя в из (9), получаем

Неопределенность в значении энергии возбужденного уровня связана с неопределенностью в моменте спонтанного перехода в основное состояние х соотношением (12). Это минимальная неопределенность значения энергии, допускаемая неравенством Бора—Гейзенберга, выражаемым формулой (4) § 7.

Уширение уровней энергии атома проявляется не только в испускании, но и в поглощении света: линии поглощения также имеют конечную ширину. Атом может перейти из основного состояния в возбужденное, поглощая свет в определенном интервале частот, причем ширина этого интервала обусловлена шириной возбужденного уровня энергии.

Уширение спектральных линий из-за столкновений. До сих пор мы рассматривали ширину спектральных линий изолированного атома, находящегося в покое относительно наблюдателя. Эта ширина является внутренним свойством атома. Наблюдаемые на опыте значения ширины спектральных линий, как правило, значительно больше их естественной ширины. Дополнительное уширение линий спектра разреженного газа обусловлено тепловым движением атомов и их столкновениями.

Если среднее время свободного движения атомов между столкновениями меньше времени жизни атома в возбужденном состоянии то эффективное время непрерывного излучения цуга волн сокращается до значения Ширина линий в этом случае определяется формулой (9), в которой заменено на Так как частота столкновений зависит от концентрации атомов, то уширение спектральных линий за счет столкновений уменьшается при понижении давления.

Доплеровское уширение спектральных линий. При низком давлении преобладающим становится уширение, обусловленное явлением Доплера. Из-за теплового движения излучающие атомы имеют различные проекции скорости на направление наблюдения. Поэтому доплеровский сдвиг частоты излучения относительно частоты излучения неподвижного атома будет различен у разных атомов. В результате наблюдаемая спектральная линия, являющаяся суперпозицией узких естественных линий излучения многих атомов, уширяется. Интенсивность излучения в спектральном интервале частот от до пропорциональна числу атомов, излучающих свет в этом интервале. Чтобы найти число таких атомов, нужно в формуле для максвелловской функции распределения по скоростям заменить на . В результате получим

где — интенсивность излучения на частоте масса атома. Контур спектральной линии, описываемый формулой (13), показан на рис. 95. Принимая за ширину линии интервал частот на границах которого интенсивность в раз меньше, чем в центре линии, получим

откуда для доплеровской ширины линии имеем

Рис. 95. Контур спектральной линии, форма которого обусловлена доплеровским уширением

Доплеровская ширина спектральных линий пропорциональна корню из термодинамической температуры газа. Так как доплеровская ширина значительно превышает естественную, то увидеть естественную ширину линии можно лишь в специальных условиях, например наблюдая излучение пучка атомов в направлении, перпендикулярном их скорости.

• В каком соотношении находятся размер атома водорода и длина волны излучаемого им света? Каким образом в это соотношение входит постоянная тонкой структуры ?

• Почему две когерентные волны, поляризованные во взаимно перпендикулярных направлениях, не интерферируют, т. е. переносимые ими энергии просто складываются?

• Как зависит излучаемая атомом мощность от частоты обращения электрона и от размера его орбиты?

• Что такое естественная ширина спектральных линий?

• Как соотношение между размером атома и длиной волны связано с малой естественной шириной спектральных линий?

• Каким образом длительность отдельного цуга волн, излучаемых атомом, связана с естественной шириной спектральной линии?

• Почему уровни энергии возбужденных состояний атома имеют конечную ширину? Чем определяется эта ширина?

• Почему в излучении света разреженными газами наблюдаемая ширина спектральных линий значительно превосходит естественную ширину?

• Поясните, каким образом максвелловское распределение атомов по скоростям проявляет себя в форме контура спектральной линии.

• Как доплеровская ширина спектральной линии зависит от температуры газа?