§ 2. Релятивистская кинематика

Постулаты теории относительности требуют внесения изменений в основные физические понятия, относящиеся к пространству и времени. Прежде всего необходим анализ основных измерительных операций, определяющих пространственно-временные соотношения между событиями. Главное, что внесла теория относительности в постановку вопроса об измерительных операциях, состоит в том, что любое физическое понятие (например, измерение промежутков времени и расстояний) нуждается в определении.

Процедуры измерений. Измерение времени может быть, в принципе, произведено при помощи любого периодического процесса. Наибольшей точностью в настоящее время обладают часы, основанные на использовании собственных колебаний молекул аммиака (молекулярные часы) или атомов цезия (атомные часы). Основанное на колебаниях атомов измерение времени особенно удобно тем, что здесь природа предоставила нам, в силу тождественности атомов одного и того же изотопа, набор совершенно идентичных часов. Выяснять, идут ли выбранные в качестве эталона часы равномерно, — бессмысленно: это по определению так.

Одновременность событий и синхронизация часов. Что значит измерить промежуток времени между событиями? Это значит сравнить между собой показания выбранных в качестве эталона часов в моменты наступления этих событий. А для этого нужно установить одновременность рассматриваемого события с другим событием — прохождением стрелки часов через определенное деление. Таким образом, все наши суждения, в которых время играет какую-либо роль, всегда являются суждениями об одновременных событиях.

Понятие одновременности событий, происходящих в одном и том же месте, «рядом», не нуждается в определении. Поэтому для измерения промежутка времени между двумя событиями, происходящими в одном месте, достаточно иметь в этом же месте часы. Но как быть с «удаленными» событиями, происходящими в разных местах? Для измерения промежутка времени между такими событиями нужно иметь в тех точках, где они происходят, синхронно идущие идентичные часы.

Но как узнать, что находящиеся в различных точках А и В часы идут синхронно, или, что то же самое, как узнать, что два определенных события в точках А и В происходят одновременно? Узнать это нельзя, нужно сначала дать определение, что такое одновременность для пространственно удаленных точек. Без такого определения невозможно сравнивать по времени события, происходящие в различных точках.

Эйнштейновское определение одновременности основано на независимости скорости сигнала, распространяющегося с предельной скоростью, от направления. Пусть из точки А в момент времени по часам А отправляется сигнал (рис. 2).

Рис. 2. К определению понятия одновременности событий

Пусть время прихода сигнала в В и отражения назад на часах В есть Наконец, пусть отраженный сигнал приходит в А в момент по часам А. Тогда по определению часы в А и В идут синхронно, если

Как уже отмечалось, в нерелятивистской физике принималось как нечто само собой разумеющееся существование единого мирового времени, не зависящего от системы отсчета, и поэтому неявно допускалось, что понятие одновременности в разных точках пространства не нуждается в определении, а любой способ синхронизации часов (путем световых сигналов или путем перевозки хронометров) должен

дать одно и то же. Мы увидим, что на самом деле это не так. Если часы в В синхронизированы с часами в помощью световых сигналов, и хронометр С, сверенный с часами в точке А, перевозится затем в точку В, то его показания в точке В не совпадут с показаниями находящихся там часов, а будут зависеть от скорости перевозки. Совпадение будет лишь при бесконечно малой скорости перевозки хронометра.

Измерение расстояний. Операцию измерения расстояний с точки зрения постулатов теории относительности наиболее разумно определить на основе «радиолокационного» способа: из некоторого пункта посылаются световые или радиосигналы, которые после отражения от наблюдаемого предмета возвращаются в точку отправления. При этом измеряется время прохождения сигнала туда и обратно по часам, связанным с радиолокатором. Расстояние до предмета получают, умножая одинаковую по всем направлениям скорость сигнала на половину времени прохождения:

В принципиальном отношении этот способ важен потому, что в нем измерение расстояний сводится к измерению времени и отпадает необходимость в отдельном эталоне длины.

Радиолокационный способ измерения расстояний не является единственно возможным: можно было бы по определению в качестве измерительной процедуры принять способ непосредственного наложения жестких масштабов (линеек) или способ триангуляции. Однако эти способы менее удовлетворительны, так как существенно опираются на свойства твердых тел. Но абсолютно твердых тел в природе не существует, реальные физические тела лишь приближенно могут рассматриваться как твердые и обладающие неизменными геометрическими размерами.

Относительность одновременности событий. До сих пор наши рассуждения относились к какой-либо одной инерциальной системе отсчета. Будем теперь рассматривать события, промежутки времени и расстояния с точки зрения разных систем отсчета.

В нерелятивистской физике время является абсолютным: для всех систем отсчета вводится одно и то же время. Это значит, что если два события происходят одновременно для какого-нибудь наблюдателя, то они являются одновременными и для любого другого: понятие одновременности является абсолютным, не зависящим от системы отсчета. Однако утверждение об абсолютном характере одновременности основано на предположении о существовании сигналов, распространяющихся мгновенно, с бесконечно большой скоростью.

Покажем, что второй постулат теории относительности, утверждающий существование предельной конечной скорости сигналов, выражает относительный характер одновременности. Утверждение, что два пространственно удаленных события происходят одновременно, приобретает смысл только тогда, когда указано, к какой системе отсчета это утверждение относится.

Рассмотрим опять две инерциальные системы отсчета К и К, причем Кдвижется относительно К в положительном направлении оси х (рис. 3). Пусть из некоторой точки А на оси х отправляются сигналы во взаимно противоположных направлениях. Рассмотрим приход сигналов в точки В и С системы К, равноудаленные от А.

Очевидно, что сигналы достигнут В и С одновременно по часам системы К.

Рис. 3. Относительный характер одновременности событий

Легко видеть, однако, что эти же два события — приход сигналов в В и С, — одновременные в К, отнюдь не будут одновременными для наблюдателя в системе К. В самом деле, согласно принципу относительности скорость сигналов в системе К также не зависит от направления, но точка В относительно К движется направо, навстречу посланному в нее сигналу, а точка С — по направлению от посланного в нее сигнала. Поэтому с точки зрения наблюдателя в К сигналу, распространяющемуся с конечной скоростью, приходится на пути в В преодолевать меньшее расстояние, чем на пути в С. Следовательно, в системе К сигнал в точку В придет раньше, чем в С, и, значит, понятие одновременности событий является относительным.

Относительность промежутков времени. Покажем теперь исходя из основных постулатов теории относительности относительный характер промежутков времени между событиями. Пусть два события в некоторой системе отсчета, скажем в К, происходят в одной и той же точке и промежуток времени между ними равен по часам системы К. Этот промежуток времени называется собственным временем. Каким будет промежуток времени между этими же событиями, если его измерить по часам системы К, относительно которой К движется со скоростью

Для ответа на этот вопрос рассмотрим мысленный опыт со «световыми часами», устроенными следующим образом (рис. 4). На концах стержня длины закреплены два параллельных зеркала. Между зеркалами движется короткий световой импульс. Пусть этот прибор неподвижен в системе К. и его стержень расположен перпендикулярно скорости системы отсчета К относительно К.

Рассмотрим один цикл таких часов, т. е. выход светового импульса от нижнего зеркала и его возвращение после отражения от верхнего зеркала с точки зрения каждой из систем отсчета. В системе оба рассматриваемых события происходят в одной и той же точке и промежуток времени между ними (собственное время) равен

С точки зрения системы К часы находятся в движении и световой импульс движется между зеркалами зигзагообразно (рис. 4). Свет при этом проходит за один цикл больший путь, и, следовательно, промежуток времени между этими же событиями, измеренный в системе отсчета К, больше, чем в К:

Рис. 4. Свет проходит от одного зеркала до другого и обратно за разное время в различных системах отсчета

В этих рассуждениях мы опираемся на то, что, согласно второму постулату, скорость света с одинакова в К и К.

Найдем связь Как видно из рис. 4, пройденный светом за один цикл путь равен и для определения можно написать уравнение

откуда

Но, как мы видели выше, равно промежутку времени между этими событиями в К. Поэтому

Таким образом, промежуток времени между двумя событиями зависит от системы отсчета, т. е. является относительным. Так как при любой отличной от нуля скорости то собственное время меньше, чем промежуток времени между этими же событиями, измеренный в любой другой системе отсчета. Этот эффект называют релятивистским замедлением или «растяжением» времени. С точки зрения наблюдателя К идентичные по устройству движущиеся часы (т. е. часы в К) идут медленнее, чем его собственные.

Подчеркнем, что замедление времени является следствием инвариантности скорости света. Оно, разумеется, не зависит от конкретной конструкции часов.

Рассмотренный релятивистский эффект замедления времени является взаимным, как того требует принцип относительности, т. е. постулат о равноправии инерциальных систем отсчета К и К: с точки зрения наблюдателя в системе К медленнее идут часы, связанные с системой К.

Отметим, что в приведенных рассуждениях длину стержня в направлении, перпендикулярном относительной скорости систем отсчета К и мы считали одинаковой в обеих системах отсчета. Если предположить, что это не так, то можно сразу прийти к противоречию с равноправием систем К и . В самом деле, рассмотрим следующий мысленный опыт. Расположим вдоль оси у системы К жесткий стержень, длина которого в этой системе равна и вдоль оси у системы К расположим точно такой же стержень, т. е. длина этого стержня равна для наблюдателя в К. В некоторый момент эти стержни оказываются рядом, и представляется возможность сравнить их непосредственно — конец одного из стержней может сделать метку на другом стержне. Совпадет ли эта метка с концом стержня? Принцип относительности дает положительный ответ на этот вопрос: метка совпадает с концом стержня, т. е. длина стержня в направлении, перпендикулярном относительной скорости систем отсчета К и К, одинакова в обеих системах. Если бы совпадения не было, то один из стержней оказался бы длиннее другого с точки зрения обеих систем отсчета, что противоречит принципу относительности.

Относительность пространственных расстояний. Покажем теперь, что длина твердого стержня, расположенного вдоль направления относительной скорости систем отсчета К и К (рис. 5), будет различной в этих системах. Пусть стержень покоится в системе отсчета К. Его длину, измеренную в этой системе отсчета, называют собственной длиной. Обозначим ее через а длину в системе К, относительно которой стержень движется со скоростью через Найдем связь между I и Для этого рассмотрим два события: а) прохождение начала стержня мимо точки А на оси х системы К и б) прохождение конца стержня мимо этой же точки. В системе К эти события происходят в одной точке, и промежуток времени между ними

Рис. 5. Длина твердого стержня различна

в системе К является собственным временем Так как стержень движется относительно К со скоростью то можно написать Но с точки зрения наблюдателя в системе К точка А движется вдоль неподвижного стержня налево с такой же скоростью, поэтому где есть промежуток времени между событиями а и измеренный по часам в К. Так как то, комбинируя соотношения находим

Мы приходим к выводу, что длина стержня зависит от системы отсчета, в которой она измеряется, т. е. является относительной. При любой отличной от нуля скорости т. е. длина стержня является наибольшей в той системе отсчета, в которой стержень покоится. Движущиеся относительно наблюдателя тела сокращаются в направлении своего движения. Этот релятивистский эффект носит название лоренцева сокращения.

Лоренцево сокращение движущегося стержня отражает относительный характер расстояния между точками в теории относительности (т. е. зависимость расстояния от системы отсчета) и не связано с какими-либо процессами или явлениями в самом стержне. Оно тем не менее представляет собой вполне реальный эффект, столь же реальный, как, например, зависимость скорости тела от выбора системы отсчета.

В полном соответствии с принципом относительности эффект сокращения длины стержня является взаимным: если такой же стержень покоится в системе отсчета К, то его длина в этой системе отсчета равна 10, а в системе К длина будет меньше в соответствии с приведенной формулой.

Классический предел. Как видно из полученной формулы, эффект сокращения длины зависит от относительной скорости систем отсчета и становится особенно заметным для скоростей, сравнимых со скоростью света. При длина стремится к нулю:

Зависимость лоренцева сокращения от скорости показана на рис. 6. При малых скоростях т. е. расстояние между точками и промежуток времени между событиями приобретают практически абсолютный смысл в полном соответствии с классическими представлениями о пространстве и времени, сформировавшимися на основе многовекового опыта наблюдений над сравнительно медленными движениями, происходящими со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света.

Рис. 6. Зависимость сокращения длины от относительной скорости

• Какие события считаются одновременными? Как производится синхронизация часов?

• В чем заключается относительный характер одновременности событий?

• Что называется собственным временем и собственной длиной?

• Получите выражения для релятивистских эффектов замедления времени и сокращения длины, исходя непосредственно из постулатов теории относительности.

• Получите формулу для лоренцева сокращения длины, рассматривая цикл световых часов, расположенных вдоль относительной скорости двух систем отсчета.