§ 30. Вынужденное излучение. Квантовые усилители и генераторы света

Спонтанное излучение возбужденного атома с точки зрения квантовой теории происходит скачком. Предсказать момент испускания атомом фотона невозможно, можно говорить только о среднем времени жизни атома в возбужденном состоянии.

Вероятность спонтанного перехода и время жизни. Пусть теперь мы имеем совокупность очень большого числа атомов, которые образуют настолько сильно разреженный газ, что взаимодействием между атомами можно пренебречь. Каждый атом может находиться в различных квантовых состояниях, которым соответствует дискретный ряд уровней энергии. Будем для простоты считать, что атом может находиться только в двух состояниях: основном с энергией и

возбужденном с энергией Если какой-нибудь атом в момент времени находится в возбужденном состоянии, то в последующий интервал времени он может либо остаться в этом состоянии, либо перейти скачком в основное состояние, испустив фотон с энергией Обозначим вероятность спонтанного перехода атома в единицу времени из возбужденного состояния в основное через

Пусть в момент времени в возбужденном состоянии находятся атомов. Так как атомы не взаимодействуют между собой, то переход в основное состояние они совершают независимо друг от друга. Поэтому число испущенных за промежуток времени фотонов пропорционально

Если при этом никаких процессов возбуждения атомов не происходит, то изменение числа возбужденных атомов согласно (1), равно

Вероятность спонтанного перехода в единицу времени не зависит от времени. Поэтому решение уравнения

имеет вид

где — некоторая постоянная. Полагая в видим, что равно числу возбужденных атомов при

Таким образом, в отсутствие внешних воздействий число возбужденных атомов убывает со временем по экспоненциальному закону. Промежуток времени в течение которого число возбужденных атомов в результате спонтанного излучения уменьшается в раз, — это есть среднее время жизни атома в возбужденном состоянии. Как видно из формулы (3),

Вероятность спонтанного излучения обратно пропорциональна времени жизни х. Как следует из формулы (7) § 28, эта вероятность пропорциональна кубу частоты излучения.

Независимый, случайный характер процессов спонтанного излучения атомов проявляется в том, что различные атомы излучают неодновременно и независимо. Поэтому фазы, направления распространения и состояния поляризации разных цугов волн не согласованы друг с другом. Это приводит к очень важному следствию: спонтанное излучение некогерентно.

В присутствии электромагнитного поля, кроме спонтанного излучения, будут происходить и процессы возбуждения атомов, т. е.

переходы из основного состояния в возбужденное с поглощением фотонов с энергией Вероятность такого перехода пропорциональна объемной плотности энергии электромагнитного поля на частоте перехода и некоторому коэффициенту характеризующему вероятность возбуждения данного атома. Полное число переходов из основного состояния в возбужденное за промежуток времени пропорционально числу атомов в основном состоянии Поэтому

Если атомы находятся в термодинамическом равновесии с электромагнитным полем, то число переходов с поглощением фотонов и с их испусканием должно быть одинаково. Основываясь на этом, можно, приравнивая (1) и (5), найти вид функции т. е. спектральное распределение энергии равновесного излучения. Однако получающийся при этом результат не согласуется с экспериментом и с формулой Планка. Эйнштейн впервые показал, что для получения согласующегося с опытом результата необходимо предположить, что электромагнитное поле вызывает не только переходы атомов из основного состояния в возбужденное, но и переходы из возбужденного состояния в основное с излучением фотонов. Такие переходы, в отличие от спонтанных, получили название индуцированного или вынужденного излучения.

Число вынужденных переходов за время пропорционально, как и число переходов с поглощением фотонов, плотности энергии электромагнитного поля на частоте перехода, числу атомов в возбужденном состоянии и некоторому коэффициенту характеризующему вероятность такого перехода в атоме. С учетом спонтанного излучения полное число переходов за время из возбужденного состояния в основное равно

В состоянии термодинамического равновесия следует приравнять правые части в выражениях (5) и (6) и учесть, что отношение числа атомов в возбужденном состоянии к числу атомов в основном состоянии, в соответствии с равновесным статистическим распределением Гиббса, равно

Вероятности вынужденных переходов. Легко убедиться, что вероятности для атома данного сорта равны друг другу. Действительно, при очень высокой температуре, когда плотность энергии пропорциональная четвертой степени температуры, становится настолько большой, что в формуле (6) можно пренебречь первым слагаемым по сравнению со вторым. Это

означает, что в равновесии при высокой температуре вынужденное излучение преобладает над спонтанным. Приравнивая для этих условий правые части (5) и (6), имеем

Так как при равновесии при согласно (7), то из (8) получаем

Вероятности зависят только от свойств атома и не зависят от внешних условий, в которых происходят переходы. Поэтому полученное при равенство справедливо всегда, в том числе и в отсутствие теплового равновесия.

Мазеры и лазеры. Вынужденные переходы нашли важное практическое применение. На их основе созданы квантовые генераторы излучения мазеры, генерирующие в микроволновом диапазоне, и лазеры, излучающие в оптическом диапазоне от инфракрасных до ультрафиолетовых лучей. Наиболее существенная особенность квантовых генераторов, с которой связаны практически все их замечательные свойства, — это когерентность создаваемого ими излучения.

Дело в том, что волны, испущенные в результате вынужденных переходов, обладают следующей важной особенностью: их частота, фаза, направление распространения и состояние поляризации точно такие же, как и у излучения, вызвавшего переходы. Иначе говоря, фотоны, испущенные при вынужденном излучении, неотличимы от фотонов, вызывающих это излучение. Поэтому при индуцированном излучении увеличиваются только амплитуда и энергия волны.

Когерентность лазерного излучения. Пояснить когерентный характер вынужденного излучения можно следующим образом. Процесс вынужденного излучения является обратным по отношению к поглощению. При распространении пучка лучей в поглощающей среде происходит уменьшение интенсивности, но полностью сохраняются свойства когерентности. Это видно хотя бы из того, что в любых интерференционных опытах прохождение пучка света через серый фильтр, уменьшающий интенсивность без изменения спектрального состава, не разрушает интерференционной картины. Поэтому можно ожидать, что при прохождении света через среду, содержащую возбужденные атомы, в результате вынужденного излучения будет происходить усиление распространяющейся волны при сохранении ее когерентности.

Усиление света активной средой. Пусть параллельный пучок монохроматического излучения частоты а), соответствующей разности каких-либо двух уровней энергии атомов среды, распространяется сквозь эту среду. Изменение числа фотонов в потоке на протяжении

расстояния за счет процессов поглощения и вынужденного излучения равно

Вкладом спонтанного излучения в рассматриваемый поток фотонов можно пренебречь, так как спонтанное излучение распространяется по всем направлениям и в направлении рассматриваемого пучка окажется ничтожная его часть. Так как то (9) можно переписать в виде

Эта формула позволяет понять основную идею работы квантового усилителя. Если число атомов в возбужденном состоянии меньше числа атомов в основном состоянии то при распространении волны поглощение будет преобладать над вынужденным излучением и интенсивность волны будет убывать. Так обычно и обстоит дело, если волна распространяется в среде, находившейся в состоянии термодинамического равновесия или близком к нему.

Но если в силу каких-либо причин число возбужденных атомов превосходит число атомов в основном состоянии то по мере распространения волны число фотонов в пучке будет нарастать — волна будет усиливаться.

Найдем закон, по которому будет изменяться интенсивность волны по мере ее распространения в среде. Произведение объемной плотности энергии волны на скорость света с есть плотность потока энергии, переносимой волной:

Так как изменение потока фотонов на протяжении отрезка равно с то изменение потока энергии на этом же отрезке равно Умножая обе части равенства (10) на найдем

Переходя к пределу при получим уравнение для функции — плотности потока энергии — в виде

где зависящий от х коэффициент а равен

Решение уравнения (12) имеет вид

Здесь есть плотность потока энергии пучка при При поток энергии нарастает по мере распространения волны, а при убывает. Если то . В этом случае среда называется активной.

Методы создания активной среды. Каким же образом удается получить сильно неравновесное состояние вещества, в котором . В зависимости от типа рабочего вещества этого можно добиться разными методами. В импульсных твердотельных квантовых генераторах, например в рубиновом лазере, используется оптическая накачка светом мощной импульсной лампы — вспышки. В полупроводниковых лазерах непрерывного действия неравновесное состояние достигается при пропускании электрического тока через -переход. В газовых лазерах атомы рабочего вещества возбуждаются электрическим разрядом.

Резонаторы лазера. В квантовых генераторах для получения монохроматического когерентного излучения, помимо эффекта усиления волны при прохождении через активную среду, используется положительная обратная связь. Часть излучаемой световой энергии все время должна оставаться внутри рабочего вещества, вызывая вынужденное излучение света все новыми возбужденными атомами. Это осуществляется с помощью зеркал. Обычно рабочее вещество помещается между двумя параллельными зеркалами, одно из которых полупрозрачно (рис. 98). Такую систему называют оптическим резонатором.

Рис. 98. Оптический резонатор с активной средой

Возникшая в каком-либо месте в результате спонтанного перехода световая волна усиливается за счет вынужденного испускания при распространении через активную среду. Эффективно будут усиливаться только те волны, направление распространения которых совпадает с осью резонатора, так как при всех других направлениях волна быстро покинет пределы активной среды. Дойдя до полупрозрачного зеркала, волна частично выходит наружу, а частично отражается назад. Отразившаяся волна дает начало новой лавине фотонов. Пройдя вдоль резонатора от одного зеркала до другого путь через активную среду, волна в соответствии с формулой (14) усилится в раз. Отразившаяся от второго зеркала волна снова на длине резонатора усиливается в раз и т. д. Таким образом, наличие зеркал увеличивает эффективное расстояние, которое распространяющаяся вдоль оси резонатора волна проходит в активной среде.

Очевидно, что генерация возможна только тогда, когда падающая на полупрозрачное зеркало после очередного прохода волна имеет энергию не меньшую, чем при предыдущем падении. Это значит, что

усиление света в активной среде должно быть достаточно большим, превышающим некоторое значение, называемое пороговым.

Формирование когерентного излучения. Оптический резонатор, образованный зеркалами, помимо осуществления необходимой для возникновения генерации положительной обратной связи, выполняет и другую важную функцию — формирует когерентное монохроматическое излучение. Для того чтобы выходящее через полупрозрачное зеркало излучение было когерентным, необходимо, чтобы составляющие его последовательные волновые цуги были согласованы друг с другом.

К полупрозрачному зеркалу подходят тождественные цуги волн, возникшие при вынужденных переходах в активной среде из единственного спонтанно испущенного цуга. Часть из них выходит наружу, часть отражается. Отразившиеся цуги проходят через резонатор туда и обратно и снова возвращаются к полупрозрачному зеркалу. Образовавшаяся в результате разность хода должна быть равна целому числу длин волн:

Только в этом случае выходящее наружу излучение будет строго монохроматическим. Отсюда следует, что квантовый генератор может создавать монохроматическую волну не произвольной частоты, а лишь с дискретным набором частот соответствующих допустимым значениям длины волны Этот набор частот определяется формулой

Оптический резонатор, образованный зеркалами, можно рассматривать как колебательную систему, в которой собственные нормальные колебания (моды) имеют вид стоячих электромагнитных волн с узлами на зеркалах. Частоты таких колебаний определяются точно таким же условием (16). Поэтому квантовый генератор по существу представляет собой автоколебательную систему, в которой возможны незатухающие колебания на одной из собственных частот резонатора.

Спектр лазерного излучения. Возбужденный уровень энергии атомов активной среды всегда имеет конечную ширину. Поэтому усиление света при вынужденных переходах происходит не на одной фиксированной частоте, а в некотором интервале частот определяемом шириной спектральной линии. Обычно на интервал приходится несколько собственных частот резонатора (рис. 99). Некоторые из них могут оказаться в интервале в котором коэффициент усиления превосходит пороговое значение.

На этих частотах и возможна генерация излучения. Если в интервал попадает только одна собственная частота резонатора, то,

казалось бы, лазер непрерывного действия должен генерировать строго монохроматический свет. Однако по ряду причин это, конечно, не так, хотя излучение такого одномодового лазера обладает очень высокой степенью монохроматичности. И действительно, ширина линии лазерного излучения может быть много меньше не только доплеровской, но и естественной ширины спектральных линий. Ширина лазерной линии может быть доведена до значения 10-14 от самой частоты. Соответствующая такой монохроматичности длина цуга когерентных волн достигает сотен километров.

Рис. 99. В пределах контура спектральной линии находится несколько собственных частот резонатора

Наиболее существенной причиной нестабильности частоты генерации являются случайные изменения длины резонатора вызываемые, например, тепловым расширением, вибрациями и т. п.

Замечательной чертой лазеров, тесно связанной с когерентностью создаваемого ими излучения, является исключительная способность к концентрации световой энергии: к концентрации в спектре — очень узкая спектральная линия излучения, концентрации во времени — возможность получать сверхкороткие импульсы света, к концентрации в пространстве и по направлению распространения — возможность получать практически параллельный пучок, расходимость которого определяется только дифракционными эффектами и поэтому очень мала, и сфокусировать все излучение в малой области с размерами порядка длины волны.

• Как связано среднее время жизни атома в возбужденном состоянии с классическим представлением о непрерывном излучении и с квантовым представлением о скачкообразном переходе атома из возбужденного состояния в основное?

• Как время жизни атома в возбужденном состоянии связано с вероятностью спонтанного перехода?

• Что такое вынужденное излучение? Какие теоретические соображения привели к выводу о его существовании?

• Как можно доказать, что вероятность поглощения фотона и вероятность вынужденного излучения одинаковы для данного перехода в атоме?

• Чем вынужденное излучение отличается от спонтанного? Почему электромагнитные волны вызывают переходы не только с поглощением энергии волны, но и с испусканием излучения?

• Чем обусловлена когерентность испускаемого света при вынужденном излучении?

• Почему при анализе работы квантового усилителя можно не учитывать спонтанное излучение?

• Сформулируйте основные этапы вывода закона нарастания интенсивности света по мере его распространения в активной среде.

• Объясните, каким образом благодаря двухзеркальному резонатору в лазере осуществляется положительная обратная связь.

• Какова роль зеркал резонатора в формировании когерентного излучения лазера?

• Чем объясняется возможность генерации излучения лазером сразу на нескольких модах резонатора?

• Объясните, почему спектральная линия лазерного излучения может иметь ширину, много меньшую естественной ширины спектральной линии атома.