7.2. Метод прогнозирующей инверсной свертки

Применение метода прогнозирующей инверсной свертки для обработки сейсмограмм [2, 3] является примером весьма успешного использования математического аппарата теории связи при решении геофизических задач. В основу метода положено предположение о том, что сигналы, записанные на сейсмограммах, являются статистическими функциями с минимальной задержкой; этот метод нашел широкое применение также в других областях техники, как, например, при обработке речевых сигналов. Поэтому глава начинается с описания соответствующих теоретических положений.

Существуют два основных подхода к обработке сейсмической информации: детерминистский и статистический. Детерминистский подход связан с созданием математических и физических моделей слоистой Земли, позволяющих лучше понять особенности распространения сейсмических волн. В этих моделях отсутствуют случайные факторы, и они являются совершенно детерминированными. Статистический подход связан с построением сейсмических моделей, содержащих элементы, влияющие на сейсмический сигнал случайным образом. Например, в статистической модели, которая будет рассмотрена ниже, предполагается, что глубина залегания отражающих слоев и коэффициенты отражения сейсмических волн от них имеют случайные распределения. Применение статистического подхода в сейсмической геофизике обусловлено главным образом тем, что приходится обрабатывать очень большой объем информации; любые данные, когда их достаточно много, приобретают статистический характер, если даже каждый из элементов сам по себе не является случайным.

Модель, для которой применим метод прогнозирующей инверсной свертки, является статистической. Она опирается на две основные гипотезы: 1) статистическую гипотезу, согласно которой амплитуды и моменты прихода сейсмических импульсов являются случайными величинами; 2) детерминистскую гипотезу, согласно которой сейсмический сигнал имеет минимальную задержку. Существуют различные способы проверки соответствия модели реальным физическим условиям.

Метод прогнозирующей инверсной свертки оказался полезным во многих случаях при обработке результатов наземных и особенно морских сейсмических измерений, когда сейсмические сигналы испытывали реверберацию, т. е. многократные отражения. Успешное применение данного метода показывает, что гипотезы

о случайности событий и минимальности задержки оказываются справедливыми для широкого круга природных условий.

Обозначим принимаемый сейсмический сигнал через (предполагается, что аппаратурные искажения, вносимые записывающим устройством в скорректированы с помощью некоторого восстанавливающего фильтра). Принятый сейсмический сигнал образован из многих глубинных отражений, каждое из которых создает последовательность импульсов Однако все эти последовательности импульсов взаимно перекрываются в той или иной степени, и поэтому невозможно определить прямыми измерениями форму импульса Как будет показано ниже, тот факт, что является сигналом с минимальной задержкой, позволяет провести измерение его формы косвенными методами.

Метод прогнозирующей инверсной свертки основан на следующей статистической модели. Принятый сейсмический сигнал (из которого выбран соответствующий участок путем селекции по времени) рассматривается как результат свертки колебания со случайной импульсной последовательностью Импульсная последовательность описывает процесс отражения от глубинных слоев в том смысле, что положение импульса на временной оси определяет время прихода отраженного сигнала, а амплитуда импульса представляет значение коэффициента отражения. При обработке информации эту последовательность импульсов можно считать случайной и некоррелированной (т. е. белым шумом). Поэтому автокорреляционная функция принятого сейсмического сигнала совпадает с автокорреляционной функцией колебания с точностью до постоянного масштабного множителя. Этот множитель не будет влиять на конечные результаты, и поэтому его можно не учитывать. Таким образом, автокорреляционную функцию колебания можно определить на основе принятой сейсмотрассы

Коэффициенты автокорреляции вычисляются из отсчетов по формуле

где суммирование проводится по всем временным индексам соответствующим выбранному участку записи. Поскольку достаточно вычислить коэффициенты автокорреляции только для положительных значений индекса сдвига

Часто бывает полезно умножить коэффициенты автокорреляционной последовательности на некоторый набор уменьшающихся

по величине весовых множителей с тем, чтобы получить взвешенные автокорреляционные коэффициенты

Типичным набором весовых множителей являются весовые коэффициенты, убывающие по закону

Здесь — значение временного индекса, на котором обрезается автокорреляционная последовательность; значение должно быть задано отдельно.

С помощью автокорреляционной функции можно найти для колебания оператор предсказания. Поскольку колебание имеет минимальную задержку, оператор предсказания с интервалом предсказания а будет предсказывать форму колебания на единиц времени вперед. Таким образом, оператор предсказывает форму «хвоста» колебания от момента и далее. (Это будет не так, если колебание не обладает свойством минимальной задержки; для иллюстрации этого принципа см. работу [4], стр. 90-91.) Задерживая предсказанное колебание на а единиц времени, можно сопоставить его с соответствующим участком колебания вычитая задержанный предсказанный «хвост» из колебания получают ошибку предсказания. Поскольку задержанный предсказанный «хвост» гасит концевой участок колебания ошибка предсказания будет представлять собой начальный участок колебания . В силу этого оператор ошибки предсказания устраняет концевой участок колебания Обозначим коэффициенты оператора предсказания для моментов через соответственно.

Существуют различные методы определения коэффициентов этого оператора; при численных расчетах некоторые преимущества имеет гауссовский метод наименьших квадратов. Согласно методу наименьших квадратов, оператор предсказания определяется из условия получения наименьшей средней квадратической ошибки предсказания. Процесс минимизации приводит к системе линейных уравнений, называемых нормальными уравнениями, где фигурируют коэффициенты автокорреляции, которые были вычислены выше и считаются известными, и коэффициенты оператора предсказания, которые являются искомыми величинами. Нормальные уравнения имеют вид

В этой системе уравнений положительное целое число а обозначает интервал предсказания; необходимо задать какое-то значение а.

Эти уравнения можно решить с помощью эффективной рекуррентной процедуры, предложенной Левинсоном [5]. Машинное время, необходимое для определения коэффициентов цифрового фильтра с помощью этой процедуры, пропорционально тогда как для обычных методов решения систем уравнений оно пропорционально Еще одно достоинство указанного рекуррентного метода состоит в том, что для него требуется объем памяти, пропорциональный а не как при обычных методах. Упрощенное описание рекуррентного метода, достаточное для составления машинных программ, можно найти в статье [6]; оно также приведено в разд. 7.6 данной главы.

Если коэффициенты оператора предсказания вычислены, то фактически становятся известными и коэффициенты оператора ошибки предсказания, поскольку при интервале предсказания а эти коэффициенты для моментов равны соответственно. Обратный оператор, необходимый для инверсной фильтрации сейсмотрассы совпадает с оператором ошибки предсказания. Поскольку такой оператор линеен, им можно воздействовать на принятый сейсмический сигнал представляющий собой множество перекрывающихся колебаний, по форме повторяющих причем их моменты прихода и амплитуды определяются импульсной последовательностью . В результате подавляются концевые участки всех колебаний но сохраняются без изменения начальные участки и тем самым повышается разрешающая способность сейсмического метода. Если требуется получить более высокое разрешение, то интервалы предсказания можно уменьшить, что приведет к еще большей концентрации энергии колебания.

Затем вычисляется свертка импульсной характеристики оператора ошибки предсказания с сейсмическим сигналом Вычисления проводятся по формуле дискретной свертки

В результате получается последовательность представляющая ошибку предсказания (при интервале предсказания а), или сейсмический сигнал без переотражений.

В частном случае, когда интервал предсказания а выбран равным единице, оператор ошибки предсказания, полученный с помощью метода наименьших квадратов, является обратным к колебанию (с минимальной задержкой) а ошибка предсказания совпадает со случайной последовательностью импульсов (т. е. с последовательностью импульсов, определяемой моментами

прихода и коэффициентами отражения сигналов, отраженных от глубинных слоев) [3].

Точность описанного выше метода ограничивается случайными ошибками, зависящими от помех, приближений в процессе вычислений, конечности анализируемой реализации сигнала и ограничений, налагаемых моделью. Как уже отмечалось, успех применения описываемого метода определяется в основном справедливостью основных гипотез о колебании (оно должно иметь минимальную задержку) и о случайном характере импульсной последовательности Достоинство метода предсказания состоит в том, что единственной информацией, необходимой для выполнения прогнозирующей инверсной свертки, является запись принятого сейсмического сигнала.

Для сглаживания полученной ошибки предсказания можно применить дополнительную фильтрацию. Этим дополнительным фильтром может служить какой-либо цифровой полосовой фильтр или же цифровой формирующий фильтр (см. разд. 7.5). Можно поступить по-другому, а именно объединить фильтр, предсказывающий ошибку, с дополнительным фильтром, а затем через полученную комбинацию фильтров пропускать принятую сейсмотрассу. В обоих случаях получится сглаженная сейсмотрасса, не содержащая реверберации (многократных отражений).