5.8.1. Выбор уровней квантования АЦП

АЦП можно рассматривать как нелинейный элемент с передаточной характеристикой (по напряжению), изображенной на рис. 5.38. Выходной отсчет АЦП равен сумме истинного значения входного колебания в момент дискретизации и отсчета шума квантования, т. е.

где — отсчеты входного сигнала, шума приемника и шума квантования соответственно. Предполагается, что шум приемника представляет собой белый гауссовский шум с нулевым средним и средним квадратическим значением, равным ст. Если считать, что шум квантования представляет собой случайный процесс, некоррелированный с сигналом и шумом приемника, то АЦП можно рассматривать как второй источник шума, обусловленного исключительно квантованием.

Для количественной характеристики шума квантования проделаем следующий эксперимент: подадим на вход АЦП белый гауссовский шум с известным распределением , измерив среднее квадратическое значение на выходе АЦП, сопоставим его с а, а затем рассмотрим, что будет происходить при изменении отношения Превышение измеряемой величины над а свидетельствует о наличии уровня шума квантования. Предположим

Рис. 5.38. Характеристика преобразования идеального АЦП.

для простоты, что значения в формуле (5.44) представляют собой случайные величины, некоррелированные друг с другом и с отсчетами входного шума равномерно распределенные на интервале от до Легко подсчитать, что дисперсия равна При некоррелированных отсчетах дисперсия на выходе АЦП определяется по формуле

Следовательно, среднее квадратическое значение выходных отсчетов АЦП, отнесенное к а, будет равно

где параметр Соотношение (5.46) графически представлено на рис. 5.39. Его иногда относят к, так называемой линейной модели, поскольку оно получено в предположении, что источник шума квантования является аддитивным и независимым. Из рис. 5.39 следует, что при уменьшении отношения уровень шума квантования неограниченно возрастает, причем динамический диапазон можно довести до любой желаемой величины за счет соответственного изменения чувствительности. К сожалению, на некотором уровне линейная модель становится неприемлемой и для более точного количественного описания работы АЦП требуется более детальный анализ.

Воспользуемся методом, основанным на получении точного выражения для плотности вероятности выходных отсчетов АЦП, которое можно будет затем использовать для определения выходной дисперсии и исследования зависимости дисперсии от отношения Ясно, что искомая плотность вероятности будет дискретной

(кликните для просмотра скана)

функцией, как показано на рис. 5.40. Из рис. 5.40 непосредственно следует, что

и

Для удобства принято, что а X представляет собой отсчет белого гауссовского случайного процесса, так что формулу (5.48) можно переписать следующим образом:

где

Нормированное среднее квадратическое значение выходных отсчетов АЦП равно

Выражение (5.50) может быть переписано в более удобной для вычислений форме, если учесть, что для гауссовского распределения плотность вероятности за пределами ±5а от среднего значения практически равна нулю. Если целое выбрано таким образом, что

то

Соотношение (5.52) также графически представлено на рис. 5.39. Видно, что линейную модель можно считать справедливой только при дБ), так как в области меньших значений среднее квадратическое значение выходных отсчетов начинает быстро уменьшаться, что противоречит линейной модели. Это объясняется достаточно просто: при уровень входного сигнала становится настолько слабым, что если он и пересекает границы соседних уровней квантования, то очень редко. Поэтому выходные отсчеты почти все время равны нулю, а АЦП становится нечувствительным к входному воздействию. Из кривых на рис. 5.39 следует, что в принципе можно допустить минимально

возможную величину отношения равную , при (Которой ухудшение отношения сигнал/шум составляет 1,16 дБ, однако АЦП будет работать в существенно нелинейной области зависимости шума квантования Кроме того, из рис. 5.39 видно, что если установить то будет достигнут «вполне приемлемый режим, характеризующийся, с одной стороны, небольшим уменьшением динамического диапазона (по сравнению с предельно достижимым), а с другой — работой в линейной области с ухудшением чувствительности на 0,34 дБ.