7.3. Метод динамической инверсной свертки

При обработке сейсмотрасс методом прогнозирующей обратной свертки, который описан в предыдущем разделе, о слоистой структуре Земли делаются самые минимальные предположения. Однако иногда необходимо ввести явные количественные соотношения между коэффициентами отражения и пропускания, описывающими слоистую среду, и особенностями идеальной сейсмотрассы, которая получается при зондировании в этой среде. Метод решения задачи инверсной свертки в сейсморазведке, основанный на более детальном учете параметров слоистой структуры, называется динамической инверсной сверткой (dinamic decovolution).

В этом методе сейсмотрасса анализируется целиком, включая все первичные и повторные отражения, с тем, чтобы определить структуру подземных слоев. Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся в вертикальном направлении через горизонтальнослоистую структуру, которая заключена между коренными породами фундамента и воздухом. Потерями энергии будем пренебрегать, т. е. будем полагать, что слоистая структура является идеальной системой, в которой отсутствует поглощение энергии внутри слоев, а энергетические потери определяются только прохождением волны в фундамент и отражением ее в воздух. Слоистая система приводит к частотно-зависимому разделению энергии, подводимой с поверхности Земли, на энергию, уносимую

проходящей в фундамент волной, и энергию, которая отражается от слоев Земли в воздух. Таким образом, энергия единичного зондирующего импульса, распространяющегося внутрь с поверхности Земли, разделяется на энергию волны, пропускаемой слоистой структурой в фундамент, и энергию волны, отражаемой системой слоев в воздух. Отраженная волна и является сейсмическим сигналом, который вызывается зондирующим единичным импульсом. С помощью измерений, проводимых на поверхности Земли, можно вычислить энергетический спектр зондирующего сигнала, который предполагается равным единице на всех частотах, и энергетический спектр отраженной волны, совпадающий со спектром: сейсмотрассы. Но по закону сохранения энергии энергетический спектр зондирующего импульса равен сумме энергетических спектров прошедшей и отраженной волн. Итак, можно определить энергетический спектр прошедшей волны как разность энергетических спектров зондирующего импульса и отраженной волны.

Слоистая система, формирующая проходящую волну, ведет себя как система с обратной связью, и поэтому проходящая волна является колебанием с минимальной задержкой. Таким образом, зная энергетический спектр проходящей волны, можно определить вид оператора ошибки предсказания, который сжимает проходящую волну в импульс. Слоистая структура при формировании отраженной волны, т. е. наблюдаемого сейсмического сигнала, действует как система, содержащая компоненты со связями назад и вперед. Более того, компонента, определяющая обратную связь, в точности совпадает с системой с обратной связью, формирующей проходящую волну. Поэтому инверсную фильтрацию наблюдаемого сейсмического сигнала можно провести с помощью вышеупомянутого оператора ошибки предсказания; в результате инверсной фильтрации остается колебание, определяемое только компонентой со связью вперед. Структура этой компоненты и определяет искомую динамическую структуру многослойной системы, тогда как компонента со связью назад представляет нежелательные эффекты реверберации, возникающие в слоистой системе. Поскольку в процессе инверсной фильтрации выделяется искомая динамическая структура и подавляются мешающие колебания, связанные с реверберацией, такой процесс называют динамической инверсной: фильтрацией. Получающееся колебание, определяемое компонентой со связью вперед, представляет собой функцию, описывающую свойства подземной структуры. Для определения коэффициентов отражения на границах между слоями полученное колебание следует подвергнуть дальнейшей обработке.

Рассмотрим теперь более подробно распространенную в геофизике плоскослоистую модель строения Земли. Верхняя горизонтальная линия на рис. 7.1 представляет поверхность Земли, а под поверхностью расположена слоистая среда, причем границы слоев параллельны поверхности. Толщины слоев и скорости

продольных акустических волн в слоях различны. Большинство исследователей нумеруют слои сверху вниз, но для упрощения обозначений в последующих рассуждениях здесь слои пронумерованы снизу вверх.

Рис. 7.1. Слоистая структура.

Самый нижний слой, или фундамент, является полупространством, обозначенным нулевым индексом. На фундаменте лежат однородных слоев конечной толщины, образующих осадочную толщу пород. Индекс, обозначающий слои, изменяется от 1 (для нижнего слоя) до (для верхнего слоя). Другими словами, первый слой является первым по геологическому времени и лежит глубже всех, а слой появился последним по геологическому времени и представляет собой поверхностный слой. При изысканиях на море поверхностным слоем, конечно, будет вода. Самый верхний слой (воздух) является полупространством и обозначен индексом Таким образом, слоистая система состоит из осадочных слоев конечной толщины, лежащих между фундаментом и воздушным полупространством. Термины «слоистая система» и «осадочная система» обозначают систему из слоев конечной толщины, в которую не включены фундамент и воздух.

В системе имеется горизонтальных границ раздела слоев. Самая нижняя граница раздела обозначена индексом 0 и представляет собой поверхность нулевого слоя, т. е. поверхность фундамента. Самая верхняя граница обозначена индексом и является поверхностью слоя, т. е. поверхностью суши или воды в зависимости от места проведения изысканий. Можно принять, что граница является поверхностью слоя, причем целочисленная переменная изменяется от 0 до включительно.

Ограничимся случаем распространения плоских продольных волн в направлении, нормальном к горизонтальным границам слоев. Чтобы удовлетворялись соответствующие граничные

условия, в каждом слое должны существовать две плоские продольные волны, одна из которых распространяется вертикально вверх, а вторая движется ей навстречу. Для определенности будем характеризовать распространение воли в слоях скоростями смещения частиц пород.

Если единичный импульс распространяется вниз и попадает сверху на границу, то коэффициент отражения от нее равен величине импульса, отразившегося от границы и движущегося вверх, а коэффициент пропускания равен величине импульса, прошедшего через эту границу и продолжающего двигаться вниз.

Рис. 7.2. Схема, поясняющая смысл коэффициентов пропускания и отражения сейсмических сигналов на границе раздела слоев.

Если единичный импульс, движущийся вверх, попадает на границу снизу, то коэффициент отражения равен величине импульса, отразившегося от границы и распространяющегося вниз, а коэффициент пропускания равен величине импульса, прошедшего через границу и движущегося вверх (см. рис. 7.2).

Три последних коэффициента можно выразить через первый следующим образом:

Все коэффициенты являются действительными числами. Коэффициенты отражения всегда лежат в интервале а коэффициенты пропускания — в интервале (0,2). Коэффициент пропускания при двукратном прохождении (туда и обратно) одного и того же импульса через границу раздела слоев равен

Предположим, что в слоистой структуре нет потерь энергии, т. е. такие эффекты, как поглощение в слоях, приводящее к

затуханию сигнала, отсутствуют. Тогда энергия сейсмических сигналов, находящихся в слоистой системе, может теряться только за счет энергии волн, выходящих в воздух или в фундамент и не возвращающихся назад.

Для упрощения выкладок удобно вводить в нужных местах структуры вспомогательные границы раздела с тем, чтобы сделать время двукратного прохождения через каждый слой одинаковым для всех слоев. Это время будем считать единицей отсчета времени. Понятно, что для всех таких вспомогательных границ коэффициенты отражения равны нулю, а коэффициенты пропускания — единице.

Пусть 2 обозначает оператор единичной задержки. Тогда любую последовательность импульсов где обозначает амплитуду импульса, появляющегося в момент времени (причем 5 — целое число), можно представить с помощью производящей функции

Такую волновую последовательность часто будем для простоты называть волной А. Функция являющаяся -преобразованием волновой последовательности и имеющая вид

часто будет обозначаться через А. Другими словами, производящая функция и соответствующее ей -преобразование получаются друг из друга заменой переменной на

Всегда будет предполагаться, что зондирующий (входной) сигнал является единичным импульсом, приложенным к поверхности осадочной системы в нулевой момент времени и распространяющимся от нее вниз. Поэтому выходную последовательность, отраженную в верхнее полупространство, будем называть импульсным откликом (характеристикой) отражения, а колебание, проходящее в фундамент, — импульсным откликом (характеристикой) пропускания (рис. 7.3).

Рассмотрим теперь осадочную систему из слоев, имеющих коэффициенты отражения Рассмотрим, кроме того, вторую осадочную систему из слоев, коэффициенты отражения которых равны также а последний слой имеет коэффициент отражения Чтобы в обеих системах коэффициенты отражения совпадали, необходимо, чтобы слой второй системы имел те же сейсмические свойства, что и полупространство в первой системе, а все слои, лежащие в обеих системах под границей, попарно имели одинаковые волновые сопротивления (рис. 7.4).

Теперь нужно связать характеристику отражения системы из слоев с коэффициентом отражения таким образом, чтобы получилась — характеристика отражения -слойной

системы. Из рис. 7.5 видно, что состоит из бесконечного числа компонент, образующихся следующим образом:

1. Импульс получается при отражении зондирующего импульса от границы вверх.

2. Последовательность импульсов получается при прохождении зондирующего импульса через границу вниз, отражении его вверх от системы из слоев и прохождении через границу вверх.

Рис. 7.3. Схема, пояснякяцая с мыс характеристик отражения и пропускания системы из слоев конечной толщины.

3. Последовательность импульсов получается, когда зондирующий импульс проходит через границу вниз, отражается вверх от системы из слоев, отражается вниз от границы, повторно отражается вверх (от -слойной системы и, наконец, проходит через границу вверх.

Подобным же образом образуются другие компоненты бесконечного ряда.

Первый отраженный импульс появляется в момент поступления зондирующего импульса. Последовательность импульсов, описанная в появляется с единичной задержкой (т. е. с задержкой на время прохождения импульса через слой и обратно). Последовательность, описанная в проходит с задержкой на две единицы времени и т. д.

Складывая все эти компоненты, получаем

Это выражение можно представить в виде произведения

которое после суммирования геометрической последовательности, содержащейся в квадратных скобках, дает

Учитывая вышеприведенные соотношения между коэффициентами отражения и пропускания, можно получить

Это соотношение, связывающее имеет тот же вид, что и формула сложения скоростей в теории относительности Эйнштейна [7].

Рис. 7.4. Две слоистые системы с одинаковыми коэффициентами отражения Система из слоев имеет дополнительный коэффициент отражения

Характеристику пропускания можно аналогичным образом выразить через коэффициенты отражения и пропускания на границе и через характеристики отражения и пропускания системы, содержащей слой. Из рис. 7.6. видно, что характеристика пропускания системы из слоев состоит из бесконечного ряда компонент, таких как

1) последовательность импульсов

2) последовательность импульсов

3) последовательность импульсов

и т. д.

Началом характеристики пропускания будем считать момент прихода первого отражения (т. е. появления первого импульса с ненулевой амплитудой). Первое отражение отстает от зондирующего импульса на единиц времени (т. е. на время прохождения импульса через систему слоек в одном направлении). При

Рис. 7.5. Схема формирования характеристики отражения

таком выборе начала отсчета импульсная последовательность входит в характеристику пропускания без задержки; последовательность, описанная в и. 2, входит с единичной задержкой; последовательность импульсов из входит с задержкой на две единицы времени и т. д.

Складывая все компоненты, находим

После суммирования геометрической последовательности получаем

Заметим, что окончательные выражения для имеют одинаковые знаменатели.

Рис. 7.6. Схема формирования характеристики пропускания

Теперь нужно определить последовательность полиномов которые будем называть полиномами прямой связи, и последовательность полиномов которые будем называть полиномами обратной связи. Если система не содержит

слоев конечной толщины, то характеристики отражения и пропускания имеют вид

Эти характеристики можно выразить через полиномы Со и являющиеся многочленами нулевой степени, в виде соотношений

в которых полиномы Со и удовлетворяют условиям

Предположим, что для системы, содержащей слоев конечной толщины, характеристики отражения и пропускания можно выразить через полиномы -й степени в виде

причем полиномы удовлетворяют условиям

С помощью формулы сложения скоростей находим

или после преобразования

Зададим полином прямой связи степени) с помощью рекуррентных соотношений

Из них видно, что эти полиномы удовлетворяют условиям

Характеристика отражения определяется дробью Аналогично характеристика пропускания равна

или

Поскольку есть производящая функция для устойчивой односторонней (физически реализуемой) функции времени, то

полином является функцией с минимальной задержкой. Но так как функция, обратная к функции с минимальной задержкой, также является функцией с минимальной задержкой, то этим же свойством обладает и характеристика .

Будем называть функцию спектральной функцией полинома обратной связи а функцию — спектральной функцией полинома прямой связи Найдем выражение для разности этих спектральных функций. Пользуясь рекуррентными формулами, приведенными выше, получим

Повторяя эту процедуру, приходим к соотношению

Выражение, стоящее в правой части, является произведением коэффициентов двустороннего пропускания (через границу и обратно) всех слоев конечной толщины. Обозначим это произведение через Тогда разность между спектральными функциями полиномов прямой и обратной связи равна коэффициенту двустороннего пропускания -слойной системы, т. е.

Положим в этом выражении и перепишем его в виде

что дает

Поскольку

то

Покажем теперь, что это равенство представляет собой закон сохранения энергии, т. е. разность между энергией сигнала на входе системы и энергией отраженного колебания равна энергии прошедшего колебания Мгновенная мощность, которой обладает волна, распространяющаяся в слое, пропорциональна произведению волнового сопротивления слоя на квадрат амплитуды волны, причем под амплитудой волны здесь подразумевается амплитуда скорости частиц среды. Пусть — волновое сопротивление фундамента, а — волновое сопротивление воздуха. Допустим, что

в исходном состоянии система находилась в покое и к ее поверхности был приложен единичный импульс, распространяющийся вниз. На выходе системы появляются отраженный в воздух сигнал, определяемый характеристикой отражения и прошедший в фундамент сигнал, определяемый характеристикой пропускания Поскольку принято, что осадочная система не вносит потерь (т. е. в слоях не происходит поглощения энергии), то вся входная энергия должна распределиться между двумя выходными сигналами Энергия входного импульса пропорциональна умноженному на единицу в квадрате. Энергия отраженной волны пропорциональна а энергия прошедшей волны пропорциональна Согласно закону сохранения энергии, энергия, подводимая к осадочной системе, должна равняться энергии, из нее уходящей, т. е.

Характеристика отражения совпадает с наблюдаемой сейсмотрассой (включая все первичные и повторные отражения) и поэтому известна. Перенеся эту известную величину в левую часть предыдущего равенства, получим

Найдем теперь выражение для Хорошо известно, что коэффициенты пропускания выражаются через волновые сопротивления слоев слой лежит на слое) как

отсюда следует, что

и поэтому получается

Таким образом, отношение равно отношению коэффициентов пропускания через осадочную систему вверх к коэффициентам пропускания сквозь всю осадочную систему вниз Поэтому равенства (7.1) и (7.2) совпадают и каждое из них представляет собой закон сохранения энергии.

Обозначим известную левую часть соотношения (7.2) символом Ф и будем называть ее спектральной функцией. Таким образом, спектральная функция определяется как

и по закону сохранения энергии спектральная функция равна

Далее получим выражение для Известно, что при формировании проходящей волны осадочная система ведет себя как система с обратной связью, поэтому величина обратно пропорциональна полиному степени Если в этом полиноме старший коэффициент положить равным единице, то коэффициент пропорциональности будет равен коэффициенту пропускания вниз Тогда проходящая волна описывается соотношением

где за начало отсчета выбран момент прихода отраженного импульса от нулевой границы раздела и это первое отражение происходит с задержкой на единиц времени по отношению к моменту поступления входного импульса (т. е. с задержкой на время прохождения зондирующего импульса через осадочные слои в одну сторону). Поскольку является производящей функцией для односторонней (равной нулю при отрицательных значениях аргумента) устойчивой функции времени, то полином находящийся в знаменателе, должен быть функцией с минимальной задержкой. Отсюда следует, что и является функцией с минимальной задержкой.

Используя все приведенные выше результаты, находим, что спектральная функция равна

Поскольку коэффициент двустороннего пропускания через осадочную систему определялся как

то спектральная функция равна

Таким образом, полином обратной связи и постоянная могут быть определены по известной спектральной функции Ф с ломощью одного из методов спектральной факторизации сигналов с минимальной задержкой, таких, как метод Фейера—Волда, метод Колмогорова или метод нормальных уравнений. (Более подробное описание этих методов можно найти в работе

Поскольку

то полином является производящей функцией оператора ошибки предсказания, который преобразует в импульс волну, прошедшую через осадочную систему и описываемую функцией с минимальной задержкой.

При образовании отраженной в воздух волны (т. е. принимаемого сейсмического сигнала) осадочные слои ведут себя как система, имеющая компоненту со связью вперед и компоненту со связью назад. Более того, компонента со связью назад полностью совпадает с системой, имеющей обратную связь, которая формирует проходящую волну. Поэтому производящая функция сейсмотрассы имеет вид

где полином степени описывает компоненту со связью вперед, а полином той же степени описывает компоненту со связью назад и совпадает с полиномом входящим в формулу для Теперь принятый сейсмический сигнал можно подвергнуть инверсной фильтрации с помощью найденного выше оператора ошибки предсказания. Эта операция выполняется в виде умножения

В результате инверсной свертки образуется компонента со связью вперед эта компонента представляет искомую динамическую структуру осадочной системы (т. е. коэффициенты отражения), тогда как компонента со связью назад описывает нежелательные эффекты, вызванные реверберацией в многослойной осадочной системе. Покажем, что компонента со связью вперед действительно описывает динамическую структуру. Запишем для этого в явном виде через коэффициенты отражения для случая . С помощью полученных выше рекуррентных формул находим

Учтем теперь, что отраженные сигналы никогда не превышают единичного зондирующего импульса, а величины коэффициентов отражения на самом деле группируются около нуля, а не единицы. Поэтому произведение трех или более коэффициентов

отражения, как правило, является величиной меньшего порядка, чем любой из коэффициентов отражения. Следовательно, приведенный выше полином прямой связи можно аппроксимировать соотношением

или в общем случае для Л-слойной осадочной системы

Поскольку при проведении инверсной свертки получаются коэффициенты многочлена Си, этот процесс позволяет приближенно определять коэффициенты отражения, которые представляют искомую динамическую структуру осадочной системы.

Теперь можно описать сейсмотрассу равенством

которое во временной области эквивалентно соотношению

(см. скан)

где звездочка означает операцию свертки. Процесс инверсной свертки описывается соотношением

(см. скан)

Таким образом, при инверсной свертке выделяются параметры искомой динамической структуры и подавляются нежелательные эффекты, связанные с реверберацией. Поэтому данный процесс называется динамической прогнозирующей инверсной сверткой.

Вычисления, выполняемые при динамической прогнозирующей свертке, проводятся для геофизической модели следующим образом. Пусть наблюдаемый сейсмический сигнал (т. е. отраженная осадочной системой волна, вызванная зондирующим сигналом, которым является единичный импульс) образует временной ряд

(Примечание. Производящей функцией для этого ряда является . Для обозначения коэффициентов следовало бы применить строчную букву но так как уже обозначает коэффициенты отражения, то коэффициенты обозначаются через

На первом этапе вычисляется автокорреляционная функция по данным сейсмотрассы согласно формуле

затем находится автокорреляционная функция зондирующего сигнала, которая для единичного зондирующего импульса также является единичным импульсом, и, наконец, вычисляется их разность [см. формулу (7.3)], которая является автокорреляционно функцией и определяется соотношением

(Примечание. Производящей функцией автокорреляционной функции очевидно, является спектральная функция Ф.)

На втором этапе определяются коэффициенты оператора ошибки предсказания (т. е. оператора инверсной свертки) путем решения системы нормальных уравнений

где являются коэффициентами полинома обратной связи

[Примечание. Приведенные нормальные уравнения можно получить, записывая равенство (7.4) в виде

Поскольку является функцией с минимальной задержкой, то

причем в правой части нет членов с положительными степенями Если приравнять коэффициенты при нулевой и положительных степенях то получатся приведенные выше нормальные уравнения, где, в частности, двусторонний коэффициент пропускания задается соотношением

Третьим этапом является вычисление инверсной свертки сейсмотрассы по формуле

В результате получается набор коэффициентов, полинома прямой связи, который в первом приближении представляет собой набор коэффициентов отражения, т. е.

Первые и последние коэффициенты обоих наборов совпадают без погрешностей, т. е. и

Если вышеуказанная аппроксимация (т. е. замена коэффициентов отражения на коэффициенты полинома прямой связи) нежелательна, то можно представить в виде ряда коэффициенты полиномов обратной и прямой связи и получить точные значения коэффициентов отражения. Покажем, как это сделать.

На данном этапе вычислений коэффициенты см полинома прямой связи и коэффициенты полинома обратной связи уже найдены, и, чтобы разложить эти коэффициенты в ряд коэффициентам отражения, необходимо обратить приведенные ранее рекуррентные формулы. Если систему рекуррентных формул для решить относительно то получатся обратные рекуррентные формулы

Кроме того, известно, что

После третьего этапа вычисления известны С помощью обратных рекуррентных формул можно найти Повторно применяя обратные рекуррентные формулы, можно найти все полиномы и, следовательно, все коэффициенты отражения.

Отметим, наконец, некоторые особенности метода сейсмического зондирования. В настоящем разделе было показано, что сейсмотрассу отраженного сигнала можно описать соотношением

причем коэффициенты многочленов и выражаются через коэффициенты отражения Если, например, то

Во многих случаях, характерных для сейсморазведки, коэффициенты отражения малы по величине. Поэтому в виде приближения можно пренебречь членами, содержащими произведения трех и более коэффициентов отражения, и записать как

где через у обозначены коэффициенты автокорреляции

коэффициентов отражения. В общем случае подобная аппроксимация дает

где

Таким образом, сейсмотрассу можно описать выражением

Эта дробь представляет сейсмосигнал в виде ряда первичных отражений от слоев с коэффициентами отражения каждое из которых сопровождается реверберационным колебанием, описываемым функцией, обратной к полиному с коэффициентами стоящему в знаменателе дроби. Во многих геологических районах осадочные слои откладывались в совершенно случайном порядке, поэтому коэффициенты отражения образуют случайную последовательность типа белого шума; ее коэффициенты автокорреляции малы:

В подобных случаях сейсмотрасса описывается соотношением

в котором сейсмосигнал представлен в виде ряда первичных отражений с коэффициентами отражения (Примечание. Как было принято выше, индекс соответствует поверхности, самой глубокой из границ раздела слоев.)

Наш век можно назвать веком нефти, и большинство нефтяных месторождений было открыто с помощью сейсморазведки. К методу сейсмического зондирования пришли эмпирическим путем в 20-х годах нашего столетия. Сейсмограммы отражений, полученные при взрыве во многих районах Земли, обычно содержат только первичные отражения. Зная положение первичных отражений, можно на глаз интерпретировать сейсмограмму и таким образом составить схему залегания подземных слоев и найти нефть. Всегда было загадкой, почему на необработанной сейсмограмме видны только первичные отражения, если при взрыве имеет место очень много повторных отражений, которые на записи никак не проявляются. Если бы они были видны, то первичные отражения затерялись бы среди повторных и визуальная интерпретация необработанных сейсмограмм была бы невозможна. Это значит, что за -летний период (с 1930 по 1960 г.) было бы открыто мало новых

нефтяных месторождений. Результаты, приведенные выше, объясняют, почему эмпирический метод сейсморазведки оказался эффективным: коэффициенты отражения были случайны и малы по величине. Начиная с 1960 г. поиски нефти успешно ведутся в районах, где такие предположения не удовлетворяются; это стало возможным благодаря использованию цифровых методов обработки сигналов, позволяющих устранять неслучайные многократные отражения, эффекты реверберации в слое воды и другие мешающие сигналы.