4.2. Основные понятия

Цифровая обработка изображений является той частью цифровой обработки сигналов, где сигналом служит изображение. Слово «изображение» в толковом словаре определяется как «воспроизведение или представление формы человека или предмета». Существенное значение имеет физический механизм, который создает упомянутое «воспроизведение или представление». В повседневной жизни получение изображения ассоциируется со зрением, т. е. с возбуждением сетчатки глаза; в этом случае формирование изображения подчиняется законам оптики. Однако техника открыла много других путей получения изображений без участия сетчатки. В последнее время часто получают изображения с помощью систем датчиков, регистрирующих такие виды энергии, на которые не реагирует орган зрения (сюда относятся, например, радиолокаторы с синтезируемой апертурой, акустическая голография и системы, использующие проникающую радиацию). К счастью, при всем разнообразии случаев, в которых создаются и регистрируются изображения, их можно описать с помощью

Рис. 4.1. Схематическое представление процесса формирования изображения.

общего математического аппарата. Целью данного раздела является описание некоторых элементов процесса формирования и регистрации изображений.

4.2.1. Формирование и регистрация изображения

Основные элементы, участвующие в создании изображения, схематически представлены на рис. 4.1; «ящик» является устройством, способным воздействовать на энергию, излучаемую объектом (однако не исключается возможность того, что сам «ящик» излучает какую-то энергию и затем воздействует на результат (взаимодействия этой энергии с объектом, как, например, это происходит в радиолокаторах с синтезируемой апертурой). Действия «ящика» завершаются в плоскости изображения, где создается изображение объекта. В плоскости изображения помещают какое-либо чувствительное устройство, с помощью [которого изображение, создаваемое «ящиком», воспринимается и записывается. Таким образом, по своей сущности изображения связаны с «ощупыванием» удаленных участков пространства косвенным путем, за счет переноса энергии, а физические принципы переноса энергии, управляющей процессом восприятия, являются основой процесса формирования изображения. Математический аппарат, описывающий все эти процессы, более важен, чем физические особенности «ящика». К счастью, соответствующие разделы математики находятся на достаточно высокой ступени развития и связаны с теорией линейных систем, знакомой специалистам, работающим в других областях цифровой обработки сигналов.

Изображения в процессе формирования в реальных системах сглаживаются. Это означает, что точка (х, у) в плоскости изображения будет содержать не только изображение соответствующей точки в плоскости объекта, но и, возможно, сведения об энергии, излучаемой другими точками из некоторой (даже из бесконечно удаленной) окрестности точки Изображение соответствующее функции распределения энергии, излучаемой объектом, является результатом сложения всех таких бесконечно малых составляющих. Считая, что «ящик» воздействует на излученные сигналы линейным образом, и допустив, что эти излученные сигналы накапливаются в плоскости изображения линейно, процесс формирования изображения можно описать с помощью соотношения

В равенстве (4.1) функция связывает распределение энергии, излучаемой окрестности некоторой точки объекта, с распределением энергии вблизи изображения этой точки. В общем случае функция должна зависеть от всех четырех пространственных переменных, чтобы можно было изменять вид сглаживания при изменении положения точки в пространстве.

На практике уравнения формирования изображения удается решить (при допустимых затратах труда) только тогда, когда функция не зависит от координатных переменных плоскости объекта (инвариантна в плоскости объекта). В этом случае вклад, вносимый в изображение какой-либо точки другой точкой, лежащей в окрестности первой, зависит только от их взаимного расположения. Тогда функцию можно упростить:

и уравнение формирования изображения сводится к соотношению

Полученное равенство описывает двумерную линейную систему, инвариантную к сдвигам; оно является естественным обобщением уравнения, описывающего поведение эквивалентных одномерных систем. В теории обработки изображений вместо термина «инвариантный к сдвигам» часто используется название «пространственно-инвариантный». Функцию являющуюся импульсным откликом системы, обычно называют аппаратной функцией или функцией рассеяния точечного источника (point-spread function). Термин «аппаратная функция» обычно ассоциируется с оптическими изображениями, а соотношение (4.3) естественным образом возникает при анализе процесса образования оптического

изображения [1]. Однако с (помощью равенств типа (4.3) можно описывать многие системы формирования изображений, не являющиеся оптическими (т. е. не содержащие линз и не (построенные на принципе использования видимого света). Например, подобным соотношением можно описать процесс формирования изображений, получаемых с помощью проникающей радиации. Более подробно с этим можно познакомиться в книге Эндрюса и Ханта [2],. где детально рассматриваются процессы формирования изображений в активных и пассивных системах, использующих проникающую радиацию. Уравнения типа (4.1) или (4.3) описывают столь большое число процессов формирования изображений потому, что восприятие изображений основывается на переносе энергии. Различные способы получения изображений определяются характеристиками процесса переноса энергии, являющегося обычно линейным, аддитивным и пространственно-инвариантным [1, 2].

Уравнения, описывающие формирование изображений, изучались весьма обстоятельно, особенно в оптике. Однако уравнения, описывающие процессы восприятия и регистрации изображений, исследованы не столь глубоко. Система, формирующая изображение, оказывается бесполезной, если отсутствуют средства для восприятия и регистрации изображения. При анализе методов цифровой обработки изображений выясняется, что современная вычислительная техника не обеспечивает выполнения многих необходимых операций (например, линейной фильтрации) по обработке изображений, изменяющихся в реальном времени. Под такими изображениями можно понимать последовательность изменяющихся изображений, пространственное разрешение и частота кадров которых (т. е. «временная» ширина полосы) соответствуют стандартам телевидения. В отличие от многих операций по цифровой обработке одномерных сигналов цифровая обработка изображений в реальном времени обычно не производится.

Для воспроизведения и записи изображений используются два основных способа: фотохимический и фотоэлектронный. Примерами реализации этих способов являются фотография и телевидение соответственно, которые дают исходные данные для цифровой обработки изображений.

В фотопленках используется эффект изменения галоидных солей серебра под воздействием света; следствием происходящих при этом процессов является осаждение чистого серебра во время химической обработки (проявления) пленки. После этого незасвеченные зерна галоидного серебра удаляются с помощью закрепителя (полное описание химии фотографических процессов можно найти в книге Миса [3]). Картина, полученная из зерен осажденного серебра, представляет собой изображение. Количественный анализ уравнений записи изображений с помощью пленок

галоидного серебра основывается на работе Хертера и Дриффилда, которые экспериментально определили, что масса отложенного серебра логарифмически связана с экспозицией Е, определяемой соотношением

где — интенсивность света, падающего на пленку во время ее экспонирования. Хертер и Дриффилд показали, что массу отложенного серебра можно связать с величиной, измеряемой оптическими средствами и называемой оптической плотностью:

В формуле (4.5) обозначает интенсивность света эталонного источника, освещающего проявленную пленку, а — интенсивность света, прошедшего сквозь пленку («или отраженного от нее), причем во всех случаях Исходя из определения оптической плотности (4.5), Хертер и Дриффилд показали, что

где — масса осажденного серебра, — нормирующая постоянная. Связь между величинами, входящими в формулы (4.4) — (4.6), была представлена Хертером и Дриффилдом в виде характеристической кривой (называемой также кривой в координатах и

Рис. 4.2. Характеристическая кривая фотопленки.

Типичная для фотопленки характеристическая кривая приведена на рис. 4.2. Она имеет линейный участок и два нелинейных участка, соответствующих большим и малым экспозициям и называемых областями насыщения и фотографической вуали.

Результаты, (полученные в работе Хертера и Дриффилда, можно пояснить, осветив пленку пучком света. Интенсивность прошедшего (или отраженного) пучка подчиняется закону Бугера — Ламберта [4]

где и — величины, входящие в формулу (4.5). С учетом выражения (4.6) получается равенство

Если пленка экспонировалась на линейном участке кривой (рис. 4.2), то

где у — наклон линейного участка, — постоянная, показывающая, что при экстраполяции линейный участок не проходит через начало координат. Предположим, что за время экспозиции величина не изменялась, а (что не приводит к потере общности). Подставив эти величины в формулу (4.8), получим

Таким образом, наблюдаемая интенсивность 12 является нелинейной функцией интенсивности падающего пучка При личины и связаны линейно. Пленки, для которых величина отрицательна, называются позитивными, а пленки, для которых положительна, — негативными. Данная терминология представляется неудачной и может приводить к недоразумениям, но она, по-видимому, слишком прочно укоренилась и ее трудно изменить.

Из формулы (4.10) видно, что с помощью фотохимических датчиков получается нелинейная (по степенному закону) запись интенсивности потока энергии, излученного объектом и падающего на поверхность чувствительного элемента. Такая нелинейность неизбежна (кроме случая и ее необходимо учитывать при выполнении многих цифровых операций над изображениями (часто предполагают, что нелинейностью можно пренебречь; это удобно, но не точно).

Нелинейность, характерная для фотохимического способа регистрации изображений, неизбежна и при использовании фотоэлектронных датчиков. В подобных устройствах падающий свет вызывает фотоэмиссию электронов. Чтобы собрать и зарегистрировать излученные электроны, обычно необходимы весьма сложные схемные и конструктивные решения и фактические характеристики прибора чаще определяются эмпирическим путем, а не с помощью детального моделирования. Коэффициент преобразования

фотоэлектронных датчиков обычно описывается степенным законом вида

где — постоянная, — показатель степени, характерный для устройства (и являющийся непосредственным аналогом коэффициента контрастности 7 для фотопленки), а — сила электронного тока. По своему внешнему виду уравнения (4.1.1) и (4.10) совпадают с точностью до знака показателя степени. Различие в знаке является существенным фактором, так как оно ослабляет нелинейный характер зависимости между входными и «выходными величинами. Кроме того, весьма часто в приборах стремятся получить величину близкую к единице, так что нелинейность передаточных характеристик всей системы выражена слабо. Например, в коммерческих системах телевидения, как правило, [5, 6].

Однако при получении информации об интенсивности изображения невозможно избавиться от шума, вносимого чувствительным элементом. Любой датчик искажает измеряемые им величины за счет собственного шума, и датчики изображений не являются, исключением. Шум, возникающий в фотоэлектронных датчиках, можно определить довольно просто. Во-первых, при эмиссии фотоэлектронов наблюдаются случайные флуктуации. При малых освещенностях эти флуктуации имеют пуаосоновскую плотность вероятности, переходящую гауссовскую плотность, когда освещенность увеличивается. Дисперсия флуктуаций увеличивается: с увеличением уровня освещенности, а это означает, что шум зависит от сигнала [7]. Вторым источником шума являются тепловые шумы в схемах усиления и обработки фототоков. Фотоэлектронный и тепловой шумы являются некоррелированными процессами типа белого шума.

Фотохимические датчики (пленки) также создают помехи, но более сложного типа. Изображение на пленке образуется из зерен, серебра, откладывающегося после экспозиции и проявления. Зерна неодинаковы по форме и размерам. Кроме того, в объеме эмульсионного слоя фотопленки они располагаются не равномерно, а случайным образом. В результате получается очень сложный шумовой процесс, статистически зависимый от уровня сигнала, как и в фотоэлектронных датчиках. Однако взаимосвязь между шумом и сигналом более сложная (и о ней до сих пор нет единого мнения; см., например, работы [8—10]). Обычно считается, что распределение амплитуд шумов пленки является гауссовским [3]. Шум зернистости пленки не коррелирован по пространству только в том случае, если рассматриваются участки пленки, расстояние между которыми превышает размер зерна.

Процессы формирования изображения, его воспроизведения и записи в идеализированном виде можно представить блок-схемой

рис. 4.3. Энергия, излучаемая объектом, «превращается в энергию, излучаемую изображением, с помощью линейной системы, имеющей аппаратную функцию Энергия, излученная изображением, преобразуется датчиком с откликом Эта операция является нелинейным взаимнооднозначным преобразованием (в отличие от преобразования, когда распространяется на некоторую область пространства). Однако полученные интенсивности невозможно записать без внесения шума, поэтому в схему включен источник аддитивного шума.

Рис. 4.3. Блок-схема процесса формирования и записи изображения.

В общем случае этот шум весьма сложен; при наличии сигнала он зависит от записываемых интенсивностей . В результате получается запись изображения (снимок)

Модель рис. 4.3 пригодна как для пленок, так и для случая фотоэлектронной регистрации. При использовании пленки нелинейное преобразование описывается характеристической (или ) кривой фотопленки, связывающей экспозицию с оптической плотностью (и, следовательно, с массой отложенного серебра). Флуктуации массы серебра, осевшего на пленке, создают шум, причем в той области, где записывается сигнал, шум является аддитивным. Таким образом, интенсивности точек светового поля отображаются на пленке с помощью локальных масс серебра, а функция и шум описывают реально происходящие процессы. Подобие степенных зависимостей, фигурирующих в формулах (4.10) для пленки и (4.11) для фотоэлектронных датчиков, указывает, что аналогичная модель справедлива и для фотоэлектронных систем, отличающихся тем, что откликом на падающий свет является поток электронов. Из соотношения (4.11) видно, что и в этом случае, т. е. для фотоэлектронных систем, можно вывести логарифмическое соотношение между воздействием и откликом, в точности повторяющее формулу (4.9).

Рассуждения, приведенные выше, позволяют выявить важную особенность: излучение, соответствующее изображению рис. 4.3, в процессе записи преобразуется в новую переменную Для фотопленок переменной служит локальная плотность серебра. Следовательно, записанное изображение является плотностным изображением (в виде оптической плотности, (пропорциональной

ллотност.и серебряной пленки), т. е. логарифмом исходного яркостного изображения. (Аналогичные рассуждения можно привести и для фотоэлектронного способа регистрации изображений, однако обычно это не делают.) Наличие шума в пространстве записанных плотностей является весьма существенным фактором. Поскольку

то применение обратного оператора к обеим частям этого равенства дает соотношение

Так как является нелинейной функцией, то формула (4.13) показывает, что обратное преобразование записи изображения, содержащей аддитивный шум, в область интенсивностей (достигаемое применением оператора не приводит к созданию яркостного изображения, содержащего аддитивную комбинацию сигнала и шума. С другой стороны, в области, где шум и сигнал складываются, интенсивности падающего света преобразуются нелинейно, что следует из формулы (4.12). Такая связь между сигналом и шумом характерна только для процессов обработки изображений, а разработка оптимальных методов разделения сигнала и шума в настоящее время является важной задачей. На практике принято обходить эту трудность с помощью аппроксимаций видз

или

К счастью, эти аппроксимации позволяют получить хорошие результаты, что и оправдывает их применение.