3.7. Моделирование речи с применением передаточной функции, содержащей полюсы и нули

При рассмотрении характеристик голосового тракта и основной модели образования речевых сигналов было отмечено, что голосовой тракт неплохо описывается с помощью рациональной передаточной функции, содержащей полюсы и нули. Полюсы соответствуют резонансам голосового тракта, а нули появляются вследствие таких явлений, как коартикуляция и связь между голосовым трактом и носовой полостью. Во многих системах анализа и синтеза речи голосовой тракт представляется моделью, передаточная функция которой содержит только полюсы, а явления, обусловленные нулями передаточной функции, учитываются выбором ширины полосы первой форманты. К настоящему времени полностью еще не выяснено, в какой степени для системы анализа — синтеза речи необходимо точное знание количества нулей и их расположения. Неопределенность обусловлена отчасти тем, что не было надежных способов обнаружения нулей передаточной функции. В более общем анализе речевых сигналов, проводимом, например, с целью автоматического распознавания высказываний при исследованиях лингвистических аспектов речи и физиологических особенностей ее образования, сведения о нулях спектра речевого сигнала привлекаются для выявления ряда важных признаков речи.

При анализе речевых сигналов методом линейного предсказания с использованием модели, содержащей только полюсы, анализировались взвешенные отрезки речевого сигнала. В силу особенностей метода линейного предсказания как средства спектрального анализа результирующий спектр определялся в основном огибающей спектра речи и в модели с не очень большим числом полюсов не зависел от тонкой структуры спектра речи. В противоположность этому любой из существующих методов исследования нулей спектра очень чувствителен к тонкой структуре спектра. Причину этого можно пояснить, обратившись к схеме рис. 3.3: любой метод обнаружения нулей спектра будет чувствителен к тому, что амплитуда спектра между гармониками основного тона стремится к нулю. Ошибочно эти значения можно принять за нули спектра. Поэтому при использовании метода исследования нулей спектра речи важно, чтобы перед выполнением анализа речевой сигнал был подвергнут инверсной свертке.

В основном применяются три метода инверсной свертки. Согласно первому методу, выделяют отрезок сигнала длительностью в один период основного тона и полагают, что колебание является импульсным откликом голосового тракта. Результат, конечно, верен только в том случае, когда импульсный отклик голосового тракта короче периода основного тона. Методику, основанную на таком методе распознавания речевого сигнала, называют синхронным анализом (анализом, синхронным с основным тоном). Второй метод инверсной фильтрации основан на линейном предсказании с применением модели, передаточная функция которой содержит только полюсы. Если огибающая спектра речи содержит и полюсы, и нули, то порядок передаточной функции, содержащей только полюсы, должен быть очень высоким, так как нули также приходится аппроксимировать с помощью полюсов. В результате анализа с применением модели высокого порядка получается аппроксимация импульсного отклика голосового тракта, или, что то же самое, огибающая спектра речи, которую можно представить с помощью модели меньшего порядка с передаточной функцией, имеющей полюсы и нули. В третьем методе применяется гомоморфная инверсная фильтрация, дающая аппроксимацию импульсного отклика голосового тракта, к которой можно применить анализ нулей и полюсов [94].

Теоретически разработано несколько методов моделирования речевого сигнала на основе передаточных функций, имеющих нули и полюсы. Методы, требующие проведения операций с большими матрицами, и способы с итеративной оптимизацией обычно оказываются малопригодными для анализа речи, когда предъявляются высокие требования к быстродействию и объему памяти и часто требуется обработка сигналов в реальном масштабе времени. Поэтому наиболее приемлемыми оказываются методы, основанные на критерии наименьших квадратов и сформулированные так,

чтобы они сводились к решению линейных уравнений. Обычно это условие приводит к методам, когда сначала определяются полюсы и затем нули, а не одновременно и то и другое. Оценить полюсы независимо от нулей можно с помощью автоковариационного варианта метода линейного предсказания. В частности, чтобы описать импульсную характеристику голосового тракта моделью, содержащей полюсы и нули, рассмотрим последовательность задаваемую разностным уравнением вида

При где — общее число нулей, уравнение (3.53) принимает вид

так что при любом последовательность можно линейно предсказать по ее предыдущим отсчетам. Таким образом, даже при наличии в модели нулей полюсы можно оценить, определив в уравнении (3.54) коэффициенты минимизирующие ошибку предсказания. Но, поскольку уравнение (3.54) справедливо только при в данном случае необходимо следить за тем, чтобы значения не выходили за этот предел, даже если после инверсной фильтрации функция известна при всех Далее допустим, что обозначает ошибку предсказания, так что

Выберем коэффициенты так, чтобы суммарная средная квадратическая ошибка предсказания, равная

была минимальна. Повторяя операции, сделанные при выводе формул (3.40), получим систему уравнений для коэффициентов оператора предсказания в виде

где

Матрица коэффициентов симметричная, но, как и автоковариационном методе, не является теплицевой. После определения коэффициентов можно воспользоваться методом, предложенным Шенксом [86], и находить коэффициенты в уравнении (3.53) путем минимизации средней квадратической ошибки между и импульсной характеристикой искомого фильтра с полюсами и нулями. В результате получается система линейных уравнений

где

причем последовательность является импульсной характеристикой фильтра, имеющей только полюсы, т. е.

и

Другая возможная процедура оценки нулей состоит в том, что исходную последовательность фильтруют обратным фильтром, устраняя полюсы, затем обращают спектр, чтобы превратить нули в полюсы, и далее методом линейного предсказания оценивают полюсы сигнала с обращенным спектром. Такой метод подобен методике, первоначально предложенной Дэрбином [66, 67].

На рис. 3.25 приведены результаты исследования нулей и полюсов спектра этими методами. На рис. 3.25, а изображен спектр естественного носового согласного звука т. Отчетливо видны два глубоких провала в спектре: один на частоте 650 Гц, другой на частоте На рис. 3.25, б показан спектр, выделенный при гомоморфной инверсной фильтрации. Далее этот спектр был дополнительно проанализирован методом линейного предсказания с 12 полюсами; результат приведен на рис. 3.25, в. Бросается в глаза, что данный спектр точно отражает наличие максимумов, но не провалов в спектре. На рис. 3.25, г и д показаны спектры, полученные с помощью модели, содержащей 12 полюсов и 10 нулей. Нули на рис. 3.25, г вычислялись по методу Шенкса, а на рис. 3.25, д — линейным предсказнием обращенного сигнала ошибки. Из двух последних графиков хорошо видно, что применение

(кликните для просмотра скана)

линейного предсказания с обращением позволит более точно оценить провалы в спектре. Этот вывод согласуется с тем, что обычно наблюдается как для естественной, так и для синтезированной речи [94].

Несколько отличный и менее обоснованный подход к моделированию с использованием дробных функций, содержащих полюсы и нули, основан на применении аппроксимаций Падэ [91]. Теория аппроксимации Падэ основана на идее отыскания для заданной аналитической функции аппроксимирующей функции в виде рациональной дроби с заданными порядками числителя и знаменателя. Аппроксимирующая рациональная функция выбирается так, чтобы первые членов ее разложения в ряд и разложения аппроксимируемой функции попарно совпадали, причем и означают соответственно порядок числителя и знаменателя аппроксимирующей функции.

Еще один чисто теоретический подход к моделированию речевого сигнала функцией с нулями и полюсами основан на том, что линейно-взвешенный комплексный кепстр последовательности от счетов речевого сигнала содержит полюсы в точках, где исходная последовательность имеет нули или полюсы [93]. В частности, рассмотрим последовательность с -преобразованием и предположим, что является рациональной функцией вида

По определению комплексного кепстра его -преобразование равно

Тогда -преобразование линейно-взвешенного кепстра определяется как и имеет вид

где штрих означает диффернцирование по 2. Таким образом, если полюсы последовательности определены, например, линейным предсказанием, то они представляют собой полюсы и нули При использовании этого метода требуется определить, какие из полюсов являются полюсами, а какие — нулями Это можно сделать несколькими способами. Один из подходов состоит в том, что отдельно анализируется последовательность методом линейного предсказания и находятся ее полюсы; оставшиеся полюсы являются нулями Другой способ состоит в исследовании вычетов последовательности Нетрудно показать, что нули лежащие внутри единичного круга,

будут порождать отрицательные вычеты, а полюсы, лежащие внутри единичного круга, — положительные вычеты. Существует тест для разделения полюсов и нулей лежащих вне единичного круга. Интересно отметить, что распознавание речевого сигнала, обычно необходимое при моделировании на осгуэве дробных функций с полюсами и нулями, в данном процессе по существу выполняется автоматически, так как значения кепстра, относящиеся к начальным моментам времени, содержат информацию только об импульсном отклике голосового тракта.

Еще одна возможность моделирования импульсного отклика голосового тракта заключается в построении модели с нулями и полюсами для линейно-взвешенного кепстра. Это соответствует моделированию импульсного отклика голосового тракта с помощью дробной модели с нулями и полюсами (т. е. модели, в которой полюсы и нули могут иметь нецелый порядок). Однако в настоящее время эти идеи изучены еще недостаточно глубоко и поэтому являются весьма проблематичными.