7.4. Свойство минимальной задержки оператора предсказания на единичный интервал предсказания

При обработке геофизической информации было обнаружено эмпирически, что оператор ошибки предсказания на единичный интервал обладает свойством минимальной задержки. Затем этот результат был подтвержден математически. В данном разделе приведено доказательство для многоканальной записи, которая, конечно, включает в себя как частный случай одноканальную запись. Пусть величины

обозначают одностороннюю последовательность прямоугольных матриц размером Кроме того, допустим, что эта последовательность является устойчивой (в том смысле, что коэффициент ее автокорреляции при нулевом сдвиге конечен), т. е.

где символ Т обозначает операцию комплексного сопряжения с транспонированием. Коэффициенты автокорреляции этой последовательности равны

Каждый из них является квадратной матрицей размером и удовлетворяет условию

Оператор предсказания на единичный интервал предсказывает по известным Каждый из коэффициентов этого оператора является квадратной матрицей размером

Если — предсказанное значение то искомый оператор предсказания описывается соотношением

Сформулируем задачу предсказания другим способом. Предположим, что требуется предсказать матрицу состоящую из элементов исходя из матрицы состоящей в свою очередь из элементов Матрицы имеют размеры . В такой постановке задачи искомая операция предсказания записывается в виде равенства

где — единичная матрица размером

Процесс предсказания можно представить таким способом потому, что все стоящие слева элементы, кроме первого, можно предсказать с абсолютной точностью. В этой новой формулировке задачи данное равенство можно более просто записать в виде

где матрицы и Х имеют размеры а матрица Н является квадратной с размерами Ошибка предсказания

где матрица имеет размеры

Согласно гауссовскому методу наименьших квадратов, средняя квадратическая ошибка предсказания будет минимальна тогда, когда матрица ошибок нормальна к предшествующим значениям матрицы Отсюда получается нормальное уравнение

где как в данном случае, так и далее до конца этого раздела все суммы берутся по изменяющемуся от нуля до бесконечности. В данном уравнении через 0 обозначена нулевая матрица размером

Обозначим матрицу минимальной средней квадратической ошибки предсказания через является квадратной матрицей размером По определению

Используя нормальное уравнение, найдем

Полученный результат и нормальное уравнение можно переписать соответственно в виде

или

где коэффициенты автокорреляции определяются как

Каждый из этих коэффициентов автокорреляции представляет собой матрицу размером С помощью нормального уравнения получается

После подстановки этих величин в уравнение для будем иметь

Пусть с — собственный вектор-строка матрицы , имеющей размер т. е. с удовлетворяет уравнению

в котором является собственным значением матрицы Я, соответствующим собственному вектору с. Аналогично справедливо уравнение

где звездочка обозначает комплексное сопряжение. Тогда уравнение для можно преобразовать к виду

что

или, наконец,

Левая часть этого уравнения неотрицательна, поскольку

Аналогично величина стоящая в правой части, также неотрицательна, поскольку

Таким образом, вся правая часть должна быть неотрицательна и тем самым доказано, что

или что модуль каждого из собственных значений матрицы Н меньше или равен единице, т. е. Собственные значения к матрицы Н являются корнями характеристического многочлена матрицы , т. е. собственные значения X удовлетворяют характеристическому уравнению

где обозначает детерминант (определитель) квадратной матрицы. Найдем явное выражение для этого определителя. С помощью формулы для определителя блочной матрицы (см. [8], стр. 344). характеристическое уравнение можно свести к следующему виду:

Поскольку данное уравнение является всего лишь другой формой записи характеристического уравнения, все его корни X по модулю не превышают единицы.

Рассмотрим теперь ошибки предсказания. Определим оператор ошибки предсказания на единичный интервал предсказания с помощью коэффициентов являющихся матрицами размером и равных соответственно

Тогда ошибку предсказания

можно вычислить с помощью свертки последовательности с оператором ошибки предсказания, т. е.

-Преобразование оператора ошибки предсказания определяется как конечный матричный ряд Лорана, коэффициенты которого являются матрицами размером т. е.

Оператор обладает свойством минимальной задержки, если радиус-векторы точек расположения всех нулей определителя его -преоб-разования по модулю не превышают единицы [4] (т. е. все нули лежат внутри единичной окружности на плоскости ). Тогда оператор ошибки предсказания на единичный интервал будет обладать этим свойством, если все корни уравнения

удовлетворяют неравенству Характеристическое уравнение приведенное выше, можно записать через коэффициенты оператора ошибки предсказания

или

причем ранее было показано, что Отсюда видно, что характеристическое уравнение эквивалентно уравнению если переменные совпадают (т. е. если Поэтому все нули уравнения удовлетворяют неравенству а оператор ошибки предсказания на единичный интервал обладает свойством минимальности задержки,

В настоящем разделе было показано, что для произвольного временного ряда оператор ошибки предсказания на единичный интервал, использующий конечное число предшествующих точек и вычисленный методом наименьших квадратов, характеризуется: тем, что нули его -преобразования лежат внутри единичного круга или что он обладает свойством минимальной задержки. Эквивалентность этих двух свойств впервые установил Робинсон [2], Юл [9] и Уолкер [10] ввели понятие авторегрессивных временных рядов. Общее определение процесса авторегрессии дано Волдом [11]; согласно этому определению, все нули -преобразования соответствующего оператора должны лежать в единичном круге (т. е. процесс должен иметь только нули). Робинсон и Волд [12] доказали, что оператор ошибки предсказания на единичный интервал, найденный для произвольного временного ряда методом наименьших: квадратов, обладает свойством минимальности задержки. Было показано в явной форме, что для любого из таких операторов существует соответствующий процесс авторегрессии. Доказательства было проведено для случая одноканальных временных рядов, но в. статье отмечено, что теорема и ее доказательство распространяются и на случай многоканальных сигналов.

Итак, была установлена связь между -преобразованием одномерного процесса авторегрессии и поведением полиномов, ортогональных на единичной окружности, причем то, что нули таких ортогональных полиномов лежат внутри единичного круга, является классическим фактом. В последние годы опубликован ряд других доказательств утверждения о минимальности задержки применительно к одномерной задаче. В данном разделе было приведена доказательство многомерной теоремы в наиболее общей форме. Другими словами, было показано, что в матричном уравнении алгоритма предсказания собственные значения оператора Н, найденного методом наименьших квадратов, по модулю не превышают единицы. Другое доказательство многомерной теоремы было приведено Бёргом [13].