4.4.5. Нелинейные методы восстановления изображений

С позиций цифровой обработки сигналов все рассмотренные методы сводятся к линейной фильтрации сигналов с применением быстрых преобразований Фурье. Из этого, конечно, не следует, что построение эффективной системы обработки сигналов является тривиальной или несложной задачей. При оптимизации методов фильтрации сигналов и соответствующих машинных программ может потребоваться много труда и изобретательности. Тем не менее основополагающие принципы фильтрации относятся к области линейной обработки сигналов, и их легко найти в работах по классической цифровой обработке сигналов.

Практические исследования, однажо, показывают, что линейная обработка имеет недостатки. Во-первых, реальные изображения обладают рядом свойств, которые не учитываются при линейной обработке. Например, яркости точек изображения всегда положительны, а в схеме с линейной обработкой могут появляться отрицательные числа, связанные с боковыми лепестками характеристики восстанавливающего фильтра. Во-вторых, линейная обработка является лишь приближением к оптимальной обработке, так как средства для записи изображений, такие, как кинопленка, в принципе нелинейны. Поэтому представляют интерес методы повышения резкости изображений, в которых учитывается такая нелинейность.

При нелинейном восстановлении изображений (как почти во всех операциях, связанных с нелинейностями) основная трудность заключается в объеме вычислений. В нелинейных системах эффективность вычислений не такая высокая, как при линейной обработке методом БПФ. В силу этого из всех предлагавшихся методов нелинейного восстановления изображений лишь немногие когда-либо применялись для обработки крупных изображений, так как при большом количестве отсчетов число вычислительных операций чрезмерно возрастает. Решения подобных проблем, по-видимому, в большей степени шязаны с математическим анализом, чем с цифровой обработкой сигналов, и поэтому данный раздел будет довольно коротким.

Один из практически реализуемых нелинейных методов относится к восстановлению изображений в пространстве плотностей с учетом предположений, связанных с равенством (4.38). Если яркости искаженного изображения перевести в плотности путем логарифмирования, а затем скорректировать изображение с помощью БПФ и результат пропотенцировать, то получится система с нелинейными характеристиками, но реализованная на основе БПФ. К тому же яркости конечного изображения здесь всегда положительны. Теоретическим основанием подобного метода являются теория гомоморфной обработки сигналов, а также мультипликативная модель процесса формирования (изображения [19]. Логарифмическая пространственная фильтрация, по-видимому, согласуется с моделью системы человеческого зрения, представленной В первом разделе главы.

Метод Фридена [43] также гарантирует отсутствие отрицательных значений яркости в восстановленном изображении, которое определяется путем решения системы нелинейных уравнений

а исправленное изображение описывается равенством

где символ обозначает двумерную дискретную свертку, а Р - полная энергия исходного изображения. Таким образом, решение оказывается положительным и ограниченным по величине. Однако решить эту систему непросто. Вычисление сверток, фигурирующих в соотношениях (4.54) и (4.55), методом БПФ не очень помотает, поскольку основная трудность заключается в решении системы уравнений относительно неизвестных (множителей Лагранжа в задачах оптимизации. Данный метод был опробован на очень малых изображениях (размером отсчетов) «в случае разделимых аппаратных функций, причем для решения нелинейных уравнений применялась итерационная процедура Ньютона — Рафсона. При увеличении размеров снимка решение нелинейных уравнений связано с большими трудностями. Был также предложен, но не реализован практически метод прямой оптимизации [2].

Метод нелинейного восстановления изображений, предложенный Фриденом, исходит из предположений о положительности и ограниченности отсчетов изображения. Нелинейные методы могут также основываться на анализе нелинейности записывающих средств. В работах [40, 44] описан байесовский подход к восстановлению изображений, записанных с помощью нелинейных устройств. Результат обработки получается в виде решения

нелинейного матричного уравнения. Определение этого решения при большом числе переменных, описывающих квантованное изображение, связано с выполнением множества вычислений, а роль цифровой обработки сигналов сводится к выполнению операций свертки [44]. Такой метод применялся для коррекции изображений размерами до отсчетов.

Задача (восстановления изображения в общем случае, т. е. с учетом нелинейности записи и условия, что отсчеты яркости должны быть ограниченными и положительными, сводится к задаче нелинейного программирования [2]. Однако возможности современной техники не позволяют решить в общем случае задачу нелинейного программирования при том числе переменных, которое характерно для изображений, представленных в цифровом виде. Были разработаны и опробованы на маленьких изображениях (размером, например, отсчета) специальные алгоритмы, основанные на симплексном методе и относящихся к нему понятиях математического программирования. К большим снимкам эти алгоритмы еще не применялись. Вообще повышение резкости нелинейными методами является той областью цифровой обработки изображений, где далеко не все сделано.