7.5. Формирующие фильтры

В конце разд. 7.2 было отмечено, что выходной сигнал предсказывающего фильтра, как правило, нужно сглаживать и для достижения этой цели удобно применять цифровые формирующие фильтры. Подобные фильтры можно проектировать, пользуясь как частотным, так и временным представлением, однако в геофизике наиболее удачные решения были найдены с помощью временного подхода. Задача формирования сигналов или колебаний настолько важна, что мы рассмотрим ее более подробно. Будет дана новая и более простая математическая формулировка задачи синтеза. Это позволит по-новому описать особенности взаимосвязей между требуемой формой выходного сигнала и получаемыми ошибками измерений.

При цифровой обработке сигналов часто встречается следующая задача: найти конечный оператор, преобразующий входной сигнал конечной длительности в выходной сигнал заданной формы, имеющий конечную длительность. За исключением особых случаев, такое преобразование не может быть выполнено с абсолютной точностью, т. е. сигнал, полученный с помощью оператора, представляет требуемый сигнал с какой-то ошибкой. Задача состоит в том, чтобы найти такой оператор, который бы выполнял это преобразование с минимально возможной средней квадратической ошибкой.

Главной особенностью этой задачи является то, что все сигналы и оператор имеют конечную длительность. В вычислительных машинах понятие о бесконечности не применяется. Входные и выходные сигналы, а также все действия, выполняемые в машине, конечны в любом смысле. Однако во многих математических моделях, применяемых для описания реальных физических процессов, в той или иной форме участвует понятие о бесконечности и обычно многие трудности, возникающие при анализе, в сущности сводятся к задаче согласования таких бесконечных моделей с реальными данными и вычислениями. В связи с этим часто бывает гораздо проще и целесообразнее с самого начала заменить бесконечную модель конечной.

Пусть представляют собой входной сигнал конечной длительности, — требуемый выходной сигнал конечной длительности. Здесь и — неотрицательные целые числа. Задача состоит в определении коэффициентов действительного конечного оператора (фильтра), фактический выходной сигнал которого с минимальной средней квадратической ошибкой аппроксимирует требуемый выходной сигнал. Фактический выходной сигнал равен свертке входного сигнала с оператором. Свертку можно записать в матричной форме следующим образом. Определим

регрессорную матрицу В как прямоугольную матрицу размером строки которой образованы последовательной задержкой входного сигнала:

Определим коэффициент регрессии как вектор-строку размером составленную из коэффициентов оператора, т. е.

Определим вектор регрессии с как вектор-строку размером IX составленную из значений фактического выходного сигнала:

и, наконец, определим регрессионал как вектор-строку размером IX составленную из значений заданного выходного сигнала, т. е.

Свертку входного сигнала с характеристикой оператора можно представить произведением матриц

Разность между заданным и фактическим выходными сигналами равна а сумма квадратов ошибок

где знаком Т отмечена транспонированная матрица. Уравнение регрессии можно записать в виде

Из теории наименьших квадратов известно, что сумма квадратов ошибок минимальна тогда и только тогда, когда регрессорная матрица В нормальна к матрице ошибки т. е. тогда и только тогда, когда

Это матричное уравнение представляет собой систему скалярных нормальных уравнений. Данное матричное нормальное уравнение можно записать в виде

или

При решении матричного уравнения получается искомый коэффициент регрессии, или, другими словами, искомый оператор

Пусть обозначает автокорреляционную функцию входного сигнала, т. е.

— взаимную корреляционную функцию требуемого выходного сигнала с входным сигналом, т. е.

Тогда можно заметить, что матрица размером является автокорреляционной матрицей входного сигнала, т. е.

а матрица размером является вектор-строкой элементы которого являются коэффициентами взаимной корреляции входного и требуемого выходного сигналов, т. е.

В этих обозначениях матричное нормальное уравнение имеет вид

Частным случаем формирующего фильтра является фильтр-обостритель, требуемым выходным сигналом которого является единичный импульс. В этом случае в требуемом выходном сигнале

какое-то одно из чисел представляет импульс и равно единице, а остальные числа равны нулю. Следовательно, в рамках данной модели можно получить различных фильтров-обострителей — по одному фильтру-обострителю для каждого из

возможных положений импульса. Предположим, что последовательность

описывает оператор-обостритель при нулевой задержке заданного выходного импульса

Аналогично примем, что последовательность

описывает оператор-обостритель при единичной задержке заданного выходного импульса

и т. д. Таким образом, последовательность

обозначает оператор-обостритель при задержке выходного импульса

на еднниц времени.

Можно заметить, что эти последовательно запаздывающие импульсы составляют строки единичной матрицы размером Допустим, что строки матрицы А размером совпадают с операторами-обострителями при задержках от нуля до Таким образом, матрица операторов-обострителей имеет вид

Тогда нормальные уравнения для каждого из операторов-обострителей можно объединить в одно общее уравнение

или

Допустим, что вектор-строка

размером является фактическим выходным сигналом оператора-обострителя с нулевой задержкой Пусть вектор-строка

размером является фактическим выходным сигналом оператора-обострителя с единичной задержкой и т. д. Тогда квадратная матрица С размером имеющая вид

называется матрицей фактических обостренных сигналов и удовлетворяет уравнению

Нормальное уравнение можно записать в виде

Умножив обе части этого уравнения на матрицу справа, получим

что

Допустим, что есть сумма квадратов ошибок для фильтра-обострителя с задержкой Общая сумма квадратов ошибок (т. е. сумма сумм квадратов ошибок всех операторов-обострителей) равна

где обозначает след квадратной матрицы (т. е. сумму ее диагональных элементов). Используя сочетательное свойство матричного умножения, получаем

и поскольку то

Если является единичной матрицей размером то Отсюда следует, что т. е. сумма квадратов ошибок, получающихся в фильтре-обострителе с задержкой , равна единице, уменьшенной на величину фактического выходного сигнала в момент времени .

Определим теперь . Имеем

Известно, что след произведения матриц не зависит от порядка расположения матриц, и это справедливо, если даже матрицы не являются квадратными, т. е.

Тогда

причем единичная матрица 1 имеет размер Поэтому

и общая сумма квадратов ошибок равна

Таким образом приходим к выводу, что общая сумма квадратов ошибок, получающихся в фильтрах-обострителях при всевозможных задержках, равна где -длина входного сигнала Кроме того, общая сумма квадратов ошибок V не зависит от длины характеристики фильтра Если бы суммы квадратов ошибок были одинаковыми для всех задержек, то для любого фильтра-обострителя где Но, как правило, не получаются одинаковыми для всех фильтров. Максимально возможное значение равно единице, поскольку фильтр с нулевым выходным сигналом дает и для любого из фильтров, рассчитанных методом наименьших квадратов, сумма квадратов ошибок не может превышать эту величину. Такая максимальная ошибка может получиться, например, в фильтре-обострителе с нулевой задержкой, если входной сигнал начинается с нулевого отсчета: В этом случае правые части нормальных уравнений равны нулю, и следовательно, сигнал на выходе фильтра будет нулевым, а ошибка — максимальной. Рассмотрим другой случай, когда все отсчеты входного сигнала, кроме последнего, равны нулю: При этом первые фильтров-обострителей создают максимальные ошибки Сумма квадратов ошибок, получающихся в этих первых фильтрах-обострителях, равна, таким образом, Но так как это число совпадает с общей суммой квадратов ошибок, то последние фильтров-обострителей дают минимальную ошибку

В любом случае существует некоторая задержка при которой сумма квадратов ошибок получается минимальной. Этот минимум может быть и не единственным. Значение при котором имеет минимальное значение, называется оптимальной задержкой или оптимальным положением выходного импульса, а соответствующий фильтр — оптимальным фильтром-обострителем для заданного входного сигнала

При очень коротких характеристиках фильтра-обострителя общих правил оптимизации не существует. Однако при достаточно длинных характеристиках были замечены следующие особенности:

1. Для входных сигналов с минимальной задержкой оптимальная задержка равна минимально возможной, т. е. нулю.

2. Для входных (сигналов с максимальной задержкой оптимальная задержка равна максимально возможной, т. е.

3. Для входных сигналов, не входящих в две предыдущие группы (т. е. с промежуточной задержкой), оптимальная задержка лежит между наибольшей и наименьшей. На практике эти правила можно применить для определения понятий минимальной, максимальной и промежуточной задержек.

Вернемся теперь к случаю формирующего фйльтра с произвольным видом требуемого выходного сигнала Матричное нормальное уравнение в этом случае записывается как

Однако нормальное уравнение для обостряющего оператора с матрицей А имеет вид поэтому

Следовательно, характеристику формирующего фильтра можно выразить через требуемый выходной сигнал и матрицу А оператора-обострителя в виде

или

Таким образом, формирующий фильтр образуется как комбинация из обостряющих фильтров для всевозможных задержек, в каждом из которых произведено взвешивание выходного сигнала, причем весовые коэффициенты равны значениям требуемого выходного сигнала в моменты времени, равные задержкам в соответствующих фильтрах.

Вспомним, что матричное нормальное уравнение для можно представить в виде

Умножив обе части его на получим

или

Следовательно, сумма квадратов ошибок равна

Поскольку сумма квадратов ошибок

что с учетом равенства дает

Таким образом, сумма квадратов ошибок, получающихся в формирующем фильтре равна сумме квадратов значений заданного выходного сигнала, уменьшенной на величину скалярного произведения характеристики фильтра с взаимно-корреляционной функцией. Поскольку

это скалярное произведение равно

Таким образом, сумма квадратов ошибок формирующего фильтра выражается в виде квадратичной формы

где матрица квадратичной формы равна т. е. матрице разностей между заданными и фактическими выходными сигналами всевозможных обостряющих фильтров.

Полученная формула дает минимальное значение квадратической ошибки для требуемого выходного сигнала однако ошибка не обязательно будет малой. В связи с этим важно найти класс выходных сигналов для которого ошибка с гарантией будет небольшой.

В дальнейших рассуждениях удобно оперировать с нормированной квадратической ошибкой которую можно задать соотношением

Поскольку матрица является неотрицательно определенной. Рассмотрим матрицу С фактических выходных сигналов всевозможных фильтров-обострителей, имеющую размер Ранее было показано, что

Транспонирование обеих частей равенства дает

откуда следует, что (т. е. С является симметричной матрицей), а это в свою очередь означает, что

Из условий

следует, что С является симметрической идемпотентной матрицей определение 12.3.1). Кроме того, матрица также является симметрической идемпотентной теорема 12.3.5, часть 4), и поэтому

([14] , теорема 9.1.5). Но выше было показано, что и поэтому

Таким образом, является симметрической идемпотентной матрицей ранга а подобные матрицы имеют всего ненулевых собственных значений каждое из которых равно а остальные собственных значений равны нулю теорема 12.3.2). Представим нормированную квадратическую ошибку в виде

где обозначает ортонормальный собственный вектор-строку матрицы имеющий размер Все векторы ортогональны, так как матрица симметричная. Приведенное выше разложение матрицы по собственным векторам и собственным значениям является прямым следствием ортогонального-преобразования

где матрица Е размерами составлена из собственных вектор-строк а матрица А диагональная и составлена из собственных значений

Допустим теперь, что в качестве требуемого выходного сигнала выбран один из собственных вектор-строк размером (например, соответствующий любому из нулевых собственных значений т. е.

При этом получается

поскольку причем

Это означает, что имеется возможностей выбрать для формирующего фильтра форму выходного сигнала так, что НКО уменьшается до минимума, т. е. до нуля.

Интересно также рассмотреть случай, когда в качестве требуемого выходного сигнала взят любой из собственных вектор-строк (например, ), соответствующий одному из собственных значений равных единице. При этом

и нормированная ошибка

или

поскольку Отсюда следует, что существует вариантов требуемого выходного сигнала для которых достигает максимально возможного значения, равного единице. Отметим, что выполненный ранее анализ распределения ошибок для набора обостряющих фильтров, когда входным сигналом служила последовательность вполне объясняется и в рамках вышеприведенных рассуждений.

Важным частным случаем формирующего фильтра является предсказывающий фильтр, когда требуемый выходной сигнал совладает с входным, но опережает его во времени на некоторый интервал а, называемый интервалом предсказания. Опережающий сигнал состоит из двух частей: неконтролируемой части

которая появляется до начала отсчета времени и поэтому не определяется фильтром, и контролируемой части

находящейся в интервале действия фильтра. Таким образом, контролируемая часть образует требуемый выходной сигнал фильтра, имеющий вид

т. е. требуемым выходным сигналом является вектор-строка размером

Характеристика предсказывающего фильтра с интервалом предсказания а имеет вид

Сумма квадратов ошибок, получающихся за счет преобразования входного сигнала в контролируемую часть выходного сигнала равна

Ошибка предсказания складывается из неконтролируемой части и ошибки, обусловленной разницей между контролируемой частью и фактическим выходным сигналом фильтра. Если обозначить сумму квадратов ошибок предсказания через то

причем первое слагаемое правой части описывает вклад неконтролируемой части, а второе — вклад контролируемой части выходного сигнала.

Пусть заданы входной сигнал и оператор с характеристикой, имеющей длину отсчетов. Рассмотрим зависимость суммы квадратов ошибок предсказания от величины интервала предсказания, т. е. проанализируем как функцию а. Для операторов с достаточно длинными характеристиками является монотонно возрастающей функцией а (где Для коротких операторов это не обязательно. Неконтролируемая составляющая определяется той частью энергии входного сигнала, которая сосредоточена в интервале от нуля до поэтому неконтролируемая составляющая является монотонно неубывающей функцией а.

О контролируемой составляющей нельзя сделать никаких общих заключений, кроме того, что она обращается в нуль, когда превышает . В результате кривая будет иметь минимум при

одном или нескольких значениях а; такое значение а называется оптимальным интервалом предсказания.

Интересно отметить, что, тогда как оптимальная задержка сигнала (т. е. оптимальное положение выходного импульса) фундаментально связана с фазовыми свойствами сигнала (т. е. имеет ли сигнал минимальную, максимальную или промежуточную задержку), оптимальный интервал предсказания никоим образом не зависит от этих свойств сигнала. Это утверждение можно подтвердить анализом нормальных уравнений, на основе которых составляется оператор предсказания. Матричное нормальное уравнение имеет вид

Правая часть уравнения содержит вектор взаимной корреляции сигнала с его контролируемой частью, т. е. ту часть автокорреляционной функции, которая обусловлена произведением

причем подразумевается, что при . В силу этого в нормальное уравнение для оператора предсказания входит только автокорреляционная функция входного колебания и поскольку она не зависит от фазовых свойств сигнала, то от них не зависит и оператор предсказания. Поэтому оптимальный интервал предсказания не зависит от фазовых свойств входного сигнала

Предсказывающему фильтру можно противопоставить «вспоминающий» фильтр, требуемый выходной сигнал которого равен входному сигналу, задержанному на некоторый интервал времени, называемый интервалом вспоминания. Этот интервал можно обозначить как —а, где а — сугубо отрицательное число, т. е. интервал вспоминания можно рассматривать как отрицательный интервал предсказания. Нормальные уравнения для вспоминающего фильтра (где а — существенно отрицательное число) имеют вид

Предположим, что это означает задержку на единицу времени. Тогда для вспоминающего фильтра справедливо равенство

где

Автокорреляционная функция действительных скалярных сигналов является четной, т. е. Следовательно, для вспоминающего фильтра выполняется соотношение

Поскольку симметричная тёплицева матрица, в обоих вектор-строках можно записать элементы в обратном порядке и тем самым преобразовать предыдущее уравнение к виду

Однако известно, что для оператора предсказания с интервалом предсказания справедливо равенство

Поэтому оператор, полученный обращением оператора вспоминания с интервалом вспоминания идентичен оператору предсказания с интервалом предсказания . В более общем случае оператор, полученный обращением оператора вспоминания с интервалом вспоминания оказывается ни чем иным, как оператором предсказания с интервалом предсказания