Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА И ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА УРАВНЕНИЙ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА

§ 1. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ВИДОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Любое дифференциальное уравнение первого порядка равносильно уравнению вида Решая это уравнение относительно у, получаем одно или несколько уравнений вида

Например, из уравнения получаем: , а из уравнения получаем: . В этом параграфе мы будем, как правило, рассматривать уравнения, разрешенные относительно производной, т. е. имеющие вид (1).

Умножив обе части уравнения (1) на dx и воспользовавшись равенством , получим уравнение

которое называют дифференциальной формой уравнения (1).

Если , то можно умножить обе части уравнения на и получить уравнение

где

В это уравнение переменные х и у входят равноправно, и потому равенство (2) можно считать также дифференциальной формой уравнения в котором х рассматривается как функция от у.

Во введении говорилось, что самыми простыми дифференциальными

уравнениями первого порядка являются уравнения вида которые решаются интегрированием функции. Следующими по сложности являются дифференциальные уравнения вида

для которых дифференциальная форма такова:

Поскольку в уравнении (3) левая часть содержит лишь переменную у и ее дифференциал, а правая — лишь переменную и ее дифференциал, то говорят, что в этом уравнении переменные х и у разделены. Решение уравнений с разделенными переменными основано на следующей теореме:

Теорема. Если функция имеет первообразную Р, а функция q — первообразную Q, то общий интеграл дифференциального уравнения (3) имеет вид.

(С - произвольная постоянная).

Доказательство. По условию имеем равенства Из первого следует, что а из второго в силу инвариантности формы дифференциала первого порядка, что Поэтому уравнение (3) можно записать следующим образом:

Здесь у является функцией от и потому слева и справа стоят дифференциалы функций от Но такие дифференциалы могут быть равны в том и только в том случае, когда функции отличаются лишь постоянным слагаемым, т. е. когда . Теорема доказана.

Таким образом, если в дифференциальном уравнении переменные разделены, то для его решения достаточно взять интегралы от обеих частей уравнения. Чтобы найти частное решение такого уравнения, удовлетворяющее начальному условию надо вместо неопределенных

интегралов записать определенные интегралы с переменным верхним пределом:

В самом деле, беря дифференциалы обеих частей в (5) и учитывая теорему о производной определенного интеграла по верхнему пределу, получаем уравнение Начальное же условие выполняется потому, что при обе части равенства (5) обращаются в нуль.

Пример 1. Найдем общий интеграл уравнения

Решение. Запишем это уравнение в дифференциальной форме: . Так как

и

то общий интеграл имеет вид:

где С — произвольная постоянная. Записав С в виде представим общий интеграл следующим образом:

или

где . Отсюда следует, что где любое действительное число.

К решению уравнений рассмотренного вида (3) сводится интегрирование дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Так называют уравнение

правая часть которого является произведением функции от на функцию от у. Если , то функция

является решением уравнения (6), поскольку для нее В области же, где уравнение (6) равносильно уравнению

с разделенными переменными. Поэтому его общий интеграл имеет вид:

(этот интеграл не содержит решений вида , где .

Пример 2. Решим уравнение

Решение. Корнями уравнения являются числа а и b. Поэтому имеем решения данного уравнения

В области, где , данное уравнение равносильно уравнению

с разделенными переменными. Так как

то общий интеграл уравнения (9) имеет вид:

Из этого равенства следует, что

Предоставляем читателю выразить из этого равенства у через х.

К уравнениям вида (6) сводятся и уравнения вида

не разрешенные относительно производной. Решая их относительно у, получаем уравнение

правая часть которого является произведением функции от на функцию от у. Дифференциальная форма уравнения (10) такова:

Если а — корень уравнения то является интегралом этого уравнения (поскольку из х = а следует, что dx = 0, причем по условию: . Точно так же, если b — корень уравнения , то интеграл того же уравнения.

В области, где переменные разделяются путем деления обеих частей уравнения на Получаем:

А теперь, как говорилось выше, достаточно проинтегрировать обе части получившегося равенства:

Частное же решение, удовлетворяющее начальному условию , имеет вид:

Пример 3. Решим уравнение

Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными, в котором Пусть и

. Разделив обе части уравнения на , получим уравнение с разделенными переменньши:

Его общий интеграл найдем по формуле (12):

Так как обращаются в нуль соответственно при то уравнение имеет еще четыре решения: , которые не содержатся в общем интеграле. Пример 4. Решим уравнение

Решение. На первый взгляд уравнение (13) не относится к классу уравнений с разделяющимися переменными. Однако если воспользоваться равенством

то получим уравнение

в котором переменные легко разделяются:

Интегрируя обе части этого равенства и принимая во внимание, что

получаем общий интеграл

Отсюда находим, что

Записанное в такой форме решение зависит не только от постоянной С, принимающей действительные значения,

но и от целого числа k. Кроме того, имеем решения, получаемые из тригонометрического уравнения , а именно .

Некоторые уравнения, не являющиеся уравнениями с разделяющимися переменными, сводятся к этому типу уравнений с помощью введения новой переменной. Пример 5. Решим уравнение

Решение. Уравнение (14) не является уравнением с разделяющимися переменными, но оно может быть приведено к таковому введением новой переменной (подстановкой). Положим , где — новая функция от Очевидно, и (14) принимает вид:

Здесь уже переменные легко разделяются.

Если , то уравнение (15) можно записать в виде

Используя подстановку найдем:

Общий интеграл уравнения (15) имеет вид:

и

После обратной замены и на получаем:

Корни уравнения равны: . Поэтому функции и также являются решениями уравнения (15), а функции

- решениями уравнений (14). Таким образом, уравнение (14) имеет общий интеграл

а также решения