§ 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Так как показательная функция является монотонной (возрастающей при и убывающей при то она имеет обратную функцию. Чтобы найти эту обратную функцию, нужно из формулы выразить х через у: а затем поменять обозначения х на у и у на тогда получим Функция называется логарифмической.

Итак, показательная и логарифмическая функции при одном и том же основании являются взаимно обратными функциями.

2. График логарифмической функции можно построить, воспользовавшись тем, что функция обратна показательной функции Поэтому достаточно построить график функции а затем отобразить его симметрично относительно прямой На рисунке 217 изображен график функции при а на рисунке 218 — график функции при

3. Свойства функции при

в) функция возрастает;

4. Свойства функции при

в) функция убывает;

Рис. 217

Рис. 218

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

1. Найти область определения функции:

Решение. 1) Область определения логарифмической функции — множество положительных чисел, т. е. значит, заданная функция будет определена только для таких х, при которых т. е. при Таким образом, областью определения заданной функции является интервал

2) Как и в первом примере, логарифмическая функция определена для таких х, при которых Решая это квадратное неравенство методом интервалов, получаем, что — объединение интервалов (рис. 219).

3) Решая методом интервалов неравенство находим (рис. 220), что

2. Построить график функции:

Решение. 1) Так как область определения данной функции — множество положительных чисел, поэтому должно выполняться неравенство Таким образом, областью определения функции служит промежуток

Кривая пересекает ось в точке так как при получаем

График функции изображен на рисунке 221.

2) Должно выполняться неравенство . Следовательно, областью определения функции служит промежуток

Кривая пересекает ось в точке так как при получаем

Рис. 219

Рис. 220

Рис. 221

Рис. 222

Рис. 223

График функции изображен на рисунке 222.

3) Должно выполняться неравенство Следовательно, областью определения данной функции является промежуток Найдем точки пересечения графика с осями координат.

Полагая получим откуда При имеем

График функции изображен на рисунке 223.

4) Должно выполняться неравенство Следовательно, областью определения данной функции является

Найдем точки пересечения графика с осью Полагая получим откуда

График функции изображен на рисунке 224.

5) Здесь мы используем основное логарифмическое тождество. Должно быть

График функции изображен на рисунке 225.

6) Искомый график (рис. 226) получается параллельным переносом графика функции на вектор . Для построения графика функции построим график функции при и отобразим его относительно оси

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

(см. скан)

(см. скан)