СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ МАТРИЦ СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ.

Значения параметра X, при которых существуют не тождественно равные нулю решения х системы алгебр, ур-ний

наз. собственными числами (с. ч.) или собственными значениями, а им соответствующие решения собственными -мерными векторами (с. в.) квадратной матрицы А порядка относительно квадратной матрицы В того же порядка. Если матрица В единичная то говорят о с. ч. и с. в. матрицы А. С. ч. системы (1) являются корнями характеристического полинома (х. п.), т. е. корнями ур-ния

где определитель матрицы. С. в. системы (1), соответствующий с. удовлетворяет системе алгебр, ур-ний

Изучение с. в. и с. ч. необходимо, напр., при исследовании колебаний и устойчивости различных систем. Нахождение всех с. ч. и с. в. системы (1) наз. полной проблемой собственных значений (п. п. с. з.). Нахождение

нескольких с. ч. и с. в. системы (1) наз. частичной проблемой собственных значений (ч.п.с.з.).

Методы вычислений с. ч. и с. в. делятся на прямые и непрямые методы. В прямых методах сначала находят непосредственно коэфф. х. п. Для того, чтобы найти с. ч., нужно определить к.-л. методом его корни. Затем находят с. в. как решения системы (3). В прямых методах используются преобразования подобия, т. е. преобразования матрицы А вида

где Т — некоторая матрица и обратная к ней матрица. В результате таких преобразований х. п. не меняется, а матрица приводится к более простому виду, х. п. которой легко выписывается. Например, для решения задачи

с матрицей относительно невысокого порядка следует пользоваться методом Данилевского, при помощи которого подобными преобразованиями матрицу А приводят к матрице

имеющей в последнем столбце коэфф. х. п.

Осн. недостатком большинства прямых методов является неустойчивость по отношению к округления погрешностям, которые неизбежны при счете на ЭВМ. Такая неустойчивость проявляется тем больше, чем выше порядок п. Поэтому для систем относительно высокого порядка целесообразно пользоваться непрямыми методами, которые позволяют находить с. ч. и с. в. с помощью некоторых сходящихся числовых последовательностей, минуя построение х. п. При этом используются подобные преобразования (4) с ортогональными матрицами Т

где Т — транспонированная к Т матрица. В этом случае итерационные процессы устойчивы относительно погрешностей округления. Кроме того, непрямые методы удобны в смысле организации многократного счета на ЭВМ по одним и тем же простым ф-лам. Напр., для решения п. п. с. з., когда в (5) матрица симметричная следует пользоваться хорошо зарекомендовавшим себя на практике методом вращения. В этом методе получается последовательность матриц D, подобных исходной, внедиагональные элементы которых стремятся к нулю, а диагональные элементы — к с. ч. Точнее, если задана мера точности , то наступит момент, когда будет выполнено неравенство где диагональный элемент матрицы D, Я. — с. ч. матрицы постоянная, не зависящая от е. Матрица преобразований Т в этом методе получается как произведение матриц вращения. Столбцы матрицы Т являются с. в. матрицы А. Метод вращений легко обобщается на систему (1), когда матрица В — положительно определена.

Если матрица А в (5) — произвольная вещественная или если она имеет ленточную структуру, то разумно пользоваться -методом, который описывается следующими соотношениями:

Здесь Q — ортогональные, R — правые треугольные матрицы. Такое разложение в произведение осуществляется с помощью матриц вращения или отражения. Матрицы подобны исходной, а в процессе итераций стремятся к правой квазитреутольиой матрице, квадратные клетки на диагонали которой имеют с. ч., близкие к с. ч. исходной матрицы. Если вещественное с. ч. матрицы А имеет кратность к, то ему соответствует диагональная клетка порядка к квазитреугольной матрицы. Паре комплексных с. ч. матрицы соответствует диагональная клетка 2-го порядка квазитреугольной матрицы. Метод сохраняет в процессе преобразований ленточную структуру матрицы, в частности, почти треугольную матрицу

что позволяет значительно сократить к-во арифм. операций. Поэтому исходную матрицу А предварительно преобразуют с помощью подобных преобразований к виду (10). Если , то (10) является трехдиагональиой матрицей. Этот метод обобщается на систему (1) с произвольными матрицами А и В.

При решении ч. п. с. з. для системы (1) достаточно высокого порядка не экономно пользоваться онисанными выше методами, даже если они модифицированы специально для этой проблемы. Для вычисления максимальных и минимальных по абс. величине с. ч. и соответствующих им векторов пользуются степенным методом. Напр., для задачи (5), когда , с. в., соответствующий максимальному с. находят как предел последовательности

начиная с заданного вектора . Соответствующее приближение к с. ч. при этом вычисляется

по формуле

Если известно достаточно хорошее приближение к некоторому с. ч. и с. в. (5) при , то для уточнения приближений пользуются степенным итерационным методом вида

Решив эту систему, найдем лучшее приближение к с. в. Лучшее приближение к с. ч. получим из ф-лы

где

Но, как показали практические расчеты, степенные методы не всегда надежны, т. е. в процессе итераций можно получить не крайние собственные числа и собственные векторы. Поэтому для вычисления крайних собственных чисел и соответствующих им собственных векторов следует применять методы вида

где вектор и параметр специально выбираются. Напр., для системы (1), когда , в качестве можно взять вектор невязки

а параметр вычислять как корень ур-ния

Приближение к с. ч. в этом случае находят по ф-ле

При этом миним. корень ур-ния (17) обеспечивает сходимость к минимальному с. а макс. корень — к максимальному с. ч.

Кроме указанных выше методов, существует много других. Для многих методов разработаны стандартные программы.

Лит.: Самокиш Б. А. Метод наискорейшего спуска в задаче о собственных элементах полуограниченных операторов. «Известия высших учебных заведений. Математика», 1958, № 5; Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М. Л., 1963 [библиогр. с. 677—734]; Воеводин В.В. Численные методы алгебры. Теория и алгорифмы. М., 1966 [библиогр. с. 247— 248]; Уилкинсон Дж. X. Алгебраическая проблема собственных значений. Пер. с англ. М., 1970 [библиогр. с. 559—564]. В. Г. Приказчиков. СОБЫТИЕ в теории автоматов — произвольное множество слов в некотором фиксированном конечном алфавите А. В теории автоматов изучают С., перечислимые автоматами, и С., представимые автоматами. С., перечислимое автоматом , — это мн-во слов, которые получают на выходе автомата , когда на его вход подают все возможные входные слова; С., представимое автоматом это мн-во всех входных слов, переводящих автомат из начального состояния в одно из т. н. заключительных состояний. С., перечислимые и представимые автоматами конечными, — это события регулярные.