Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 2.5. Граница, основанная на случайном выборе кодаОбратимся теперь к задаче вычисления вероятности ошибки на приемном конце, которой можно добиться, пользуясь сверточным кодом при передаче по двоичному симметричному каналу. Прежде чем непосредственно приступить к делу, выведем более общую оценку, основанную на случайном выборе кода, которая справедлива не только для ансамбля сверточных кодов, но также и для нескольких других ансамблей линейных кодов. Сосредоточим внимание на двоичных Для примера возьмем случай
Здесь в качестве подгруппы Заметим далее, что если к информационным позициям добавить проверочные, то полученные последовательности длины
Разбиение группы информационных последовательностей есть не что иное, как «стандартное расположение» подгруппы и ее смежных классов, введенное в теорию кодирования еще Слепяном [15]. Несколько иная терминология используется здесь по следующей причине. В стандартном расположении Слепяна подгруппой является сама группа кодовых слов, а исходной группой — группа всех последовательностей длины Разбиение группы интересует нас по следующим причинам. Во-первых, множество расстояний между элементами собственного смежного класса совпадает с множеством весов элементов подгруппы. Это тривиальным образом следует из определения смежного класса, приведенного в приложении А. Во-вторых, множество расстояний от любого элемента одного смежного класса до каждого из элементов другого смежного класса совпадает с множеством весов элементов некоторого фиксированного собственного смежного класса и не зависит от выбора элемента из первого смежного класса. Это следует из того факта, что элементы любого смежного класса отличаются друг от друга на элемент подгруппы. Например, в коде, использованном в приведенном выше примере, элементы смежного класса находятся друг от друга на расстоянии 2, но любой элемент из В приложении Теорема 8. Если заданы ансамбль равновероятных двоичных
где К и а — коэффициент и показатель соответственно в обычном выражении для границы, основанной на случайном выборе кода (точные значения — в приложении Назовем первой вероятностью полученным символам. Это определение позволяет сформулировать следствие из теоремы 8. Следствие 1. Средняя по ансамблю двоичных сверточных кодов вероятность ошибки Доказательство. Мы видели (§ 2.1), что множество начальных кодовых слов сверточного кода образует Установлен, следовательно, факт, что в ансамбле сверточных кодов должен существовать хотя бы один код, для которого последовательность первых информационных символов может быть определена с вероятностью ошибки, удовлетворяющей неравенству (56). В § 4.1 мы покажем, что для сверточного кода декодирование может быть выполнено последовательно с помощью алгоритма, который определяет последующие множества информационных символов таким же образом, как и множество первых информационных символов. Таким образом, если все предшествующие последовательности декодированы правильно, то последующие информационные символы могут быть определены с вероятностью ошибки, удовлетворяющей неравенству (56). Хотя в этой книге, вообще говоря, не исследуются другие ансамбли, мы применим теорему 8 к рассмотренному Возенкрафтом ансамблю кодов со случайными сдвигами (ср. гл. I), чтобы показать ее пригодность вообще при доказательстве границы для случайных линейных кодов. Следствие 2. Вероятность ошибки на блок для ансамбля кодов со случайными сдвигами удовлетворяет неравенству (56). Доказательство. Коды со случайными сдвигами могут быть описаны следующим образом. Рассмотрим Кодирование для кодов со случайными сдвигами выполняется так: последовательность может быть определена с вероятностью ошибки, удовлетворяющей неравенству (56). (Этот ансамбль кодов интересен тем, что из всех ансамблей, для которых можно показать, что к ним применима граница, основанная на случайном выборе кода, он содержит меньше всего кодов.) Интересно, что для вывода границы для ансамбля сверточных кодов и для ансамбля блоковых кодов используется одна и та же основная теорема. Теорему 8 можно использовать также для доказательства того, что ансамбль скользящих кодов и ансамбль всех систематических кодов удовлетворяют границе случайных кодов. Доказательство этого последнего факта вполне аналогично доказательству следствия 2 и потому здесь не приводится.
|
1 |
Оглавление
|