Глава VI. ПОРОГОВОЕ ДЕКОДИРОВАНИЕ БЛОКОВЫХ КОДОВ

§ 6.1. Введение

В предыдущих главах мы видели, как может быть применена идея порогового декодирования к сверточным кодам. Перейдем теперь к вопросу ее применимости к более знакомому классу блоковых линейных кодов. От класса сверточных кодов этот класс отличается тем, что независимо от других каждое множество из информационных символов при передаче кодируется в символов. Здесь и ниже для систематической формы линейного блокового кода используется обозначение -код (систематическая форма означает, как разъяснялось в § 1.1, что первые передаваемых символов совпадают с информационными).

В соответствии с равенством (2) проверочные символы определяются через информационные символы с помощью системы линейных уравнений к

которые в матричной форме имеют вид

где есть -матрица коэффициентов Из (7) следует, что проверки могут быть записаны в

форме матричного уравнения так

где единичная матрица размерности Матрица

называется проверочной матрицей кода. Из (177) следует, что каждая строка матрицы дает коэффициенты при шумовых символах, которые входят в одну из проверок. Назовем информационными, проверочными шумовыми символами. Из (177) видно, что строки матрицы дают коэффициенты при информационных шумовых символах, входящих в проверки; кроме того, каждый проверочный шумовой символ контролируется одной и только одной проверкой. Из § 3.2 должно быть ясно, что задача построения системы проверок, ортогональных относительно сводится к нахождению непересекающихся множеств строк матрицы Эти множества должны быть выбраны так, что некоторая линейная комбинация строк каждого такого множества имеет единицу в позиции, но не более чем в одной из этих линейных комбинаций ни в какой другой позиции не стоит отличный от нуля символ.

Рассмотрим, например, двоичный -код с проверочной матрицей

Первая строка определяет коэффициенты при шумовых символах в проверке Таким образом, контролирует Аналогично контролирует

контролирует Мы видим, что образуют систему двух проверок, ортогональных относительно Точно так же ортогональны относительно ортогональны относительно Из теоремы 1 следует, что символы ей могут быть правильно определены мажоритарным декодированием, если в блоке из шести символов имеется не более одной ошибки. Тогда переданные информационные символы могут быть найдены сложением по принятых информационных символов с символами

Прежде чем перейти к систематическому исследованию ортогональных проверок для блоковых кодов, обобщим сначала на этот случай некоторые определения гл. III.

Минимальное расстояние блокового кода обычно определяется как минимальное число разрядов, в которых отличаются два кодовых слова. Так как кодовые слова образуют группу, представляет собой минимальный вес ненулевого кодового слова.

Будем говорить, что блоковый -код может быть полностью ортогонализован, если можно построить проверок, ортогональных относительно т. е. относительно каждого информационного шумового символа.

В процессе декодирования нужно определить только информационные шумовые символы, так как все переданные информационные символы можно найти посредством соотношений [Разумеется, если переданные проверочные символы потребуются на приемном конце, то их можно восстановить по информационным символам посредством уравнений (175).] Из теоремы 1 следует, что при мажоритарном декодировании полностью ортогонализованного кода каждый из информационных шумовых символов может быть правильно декодирован, если в принятом блоке произошло не более чем ошибок. Таким образом, в этом случае будет правильно декодировано все множество информационных символов. Другими словами, мажоритарным декодированием полностью

ортогонализованного кода исправляется любая комбинация ошибок, исправление которой гарантируется по минимальному расстоянию. Как будет показано на конкретном примере в п. 6.26, могут быть исправлены многие комбинации ошибок и большего веса.

Если дана система из проверок, ортогональных относительно то размером каждой такой проверки мы будем называть число шумовых символов, кроме контролируемых этой проверкой.