§ 3.6. Коды, полученные методом проб и ошибок (ПО-коды)

Тот факт, что для собственно ортогональных кодов отношение значительно больше единицы, к счастью, не означает, что это справедливо всегда в случае других сверточных кодов. Методом проб и ошибок оказалось возможным строить коды, для которых величина совпадает с верхней границей (77) или меньше ее и для которых отношение почти равно единице. Обширный список этих кодов для скоростей приведен в табл. II.

Следующий пример будет служить и руководством для чтения табл. II, и иллюстрацией идей построения кодов. Рассмотрим в табл. II код с Код записан в виде это служит кратким обозначением того, что ненулевые коэффициенты порождающего полинома суть

Проверочный треугольник (82) принимает вид

Обозначения совпадают с принятыми для треугольника (90); линии справа от треугольника указывают, какие строки следует складывать для образования ортогональных проверок. В таблице правила образования ортогональных проверок выписаны в виде , что является краткой формой записи выражений

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Эта система шести проверок, ортогональных относительно соответствует проверкам, построенным в (92). Размеры этих проверок в таблице даны числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, которые показывают, что имеет имеет Эффективное кодовое ограничение дано в графе Для сравнения в графе [оценка (77)] приведено значение Приведено также фактическое кодовое ограничение

Метод, которым был найден этот конкретный код, состоит в следующем. В силу того, что в проверочном треугольнике строки со второй по шестую начинаются нулями, шумовые символы от до могут иметь отличные от нуля коэффициенты только в одной строке треугольника (92). Более того, строки от второй до шестой могут быть использованы для исключения ненулевого коэффициента при каждой из переменных от до как это явствует из проверочного треугольника. Первая строка дает проверку относительно не контролирующую никакого другого информационного шумового символа. Таким образом, задача сводится к такому выбору последних шести строк проверочного треугольника, чтобы из них можно было составить пять проверок, контролирующих и обладающих тем свойством, что ни одна из переменных от до не контролируется дважды. Выбор, сделанный в (92), этим требованиям удовлетворяет. Остальные коды табл. II были построены вручную с помощью этого и многочисленных других приемов, использующих структуру проверочных треугольников. Простота идеи ортогональных проверок позволяет вручную строить коды значительной длины.

Следует сделать несколько дополнительных замечаний относительно ПО-кодов. В коде со скоростью рассмотрим кодовое слово, единственный ненулевой информационный символ которого есть Из соотношений (28) и (29) следует, что вес этого кодового слова равен 1 плюс число отличных от нуля коэффициентов порождающих полиномов

Следовательно, таких коэффициентов должно быть не менее где минимальное расстояние в этом коде. С другой стороны, существование I проверок, ортогональных относительно означает, что и поэтому в порождающих полиномах должно быть не менее отличных от нуля членов.

ПО-коды табл. II (за исключением нескольких помеченных звездочкой) обладают тем свойством, что число ненулевых членов в порождающих полиномах равно в точности т. е. минимальному возможному числу. Весьма важным следствием этого, как видно из рис. 5 и 6, является сокращение числа входов сумматоров кодирующих схем до минимально возможного. Более того, минимальное расстояние в этих кодах равно в точности так как существует кодовое слово с имеющее именно этот вес.

Будем говорить, что сверточный код с минимальным расстоянием и скоростью может быть полностью ортогонализован, если можно построить проверок, ортогональных относительно В этом случае, какая бы ни произошла комбинация ошибок веса, не превышающего символ будет найден верно мажоритарным декодированием. Другими словами, если код может быть полностью ортогонализован, то исправление комбинации ошибок по минимальному расстоянию гарантирует исправление этой же ошибки методом мажоритарного декодирования. Согласно этому определению, коды табл. II могут быть полностью ортогонализованы (кроме, быть может, кодов, помеченных звездочкой).