Глава VII. ОБОБЩЕНИЕ ПОРОГОВОГО ДЕКОДИРОВАНИЯ ДЛЯ БЛОКОВЫХ КОДОВ

В гл. VI нам удалось установить, что алгоритмы порогового декодирования можно эффективно применить к двоичным кодам максимальной длины, т. е. к классу кодов с малыми скоростями передачи. Оказалось, что эффективность основных алгоритмов ограничивается такими кодами с низкими скоростями. Иначе говоря, коды с высокими скоростями обычно не допускают полной ортогонализации. Распространим теперь метод образования ортогональных проверок на более широкий класс кодов, для которых пороговое декодирование может оказаться эффективным. Ограничимся двоичными кодами. (Пока еще не ясно, в какой степени обобщенный метод приложим к недвоичным кодам.)

Прежде чем переходить к описанию обобщенного метода, проиллюстрируем его применение примером. Рассмотрим -код Хемминга с кодовым расстоянием и проверочной матрицей (188). Мы видели, что этот код не допускает полной ортогонализации, Строки матрицы для этого кода соответствуют проверкам и выглядят так

(Как и в гл. III, строки нумеруются для указания ортогональных проверок и их размера, а в рамки поме щается каждый ненулевой коэффициент информационного шумового символа, отличный от тех

коэффициентов суммы, которые входят в проверку, ортогональную относительно этой суммы.) Из таблицы следует, что проверки образуют систему проверок, ортогональных относительно суммы Если в принятом блоке произошло не более одной ошибки, то эта сумма с помощью мажоритарного декодирования может быть найдена правильно. Обозначим декодированное значение этой суммы через Точно так же образуют проверки, ортогональные относительно и мажоритарным декодированием можно значение

Рассмотрим теперь модификацию исходных проверок, образовав систему вида

Из формул (189) видно, что, если суммы декодированы верно, то являются проверками, соответствующими проверочной матрице где строки матрицы имеют вид

и потому теперь можно построить проверки, ортогональные относительно Весь процесс декодирования будет верным, если в принятом блоке окажется не более одной ошибки. Так как код является циклическим, символы можно определить таким же способом.