§ 7.5. Неприложимость к сверточным кодам

На первый взгляд может показаться, что метод ортогонализации в L шагов пригоден для расширения класса сверточных кодов, к которым можно эффективно применить пороговое декодирование. Как мы сейчас покажем, дело обстоит не так, по крайней мере в тех важных случаях, когда скорость передачи есть дробь с единицей в числителе, т. е.

Проверочная матрица сверточного кода (ср. § 3.3) со скоростью такова, что строки матрицы имеют вид

Здесь символы представляют собой коэффициенты («о — 1) порождающих полиномов. Предположим теперь, что можно построить систему проверок, ортогональных относительно некоторой суммы информационных шумовых символов, скажем, Это значит, что можно найти подмножеств строк матрицы , таких, что сумма строк каждого подмножества имеет единицу в каждой из позиций, соответствующих информационным шумовым символам но любая другая позиция имеет единицы не более чем в одной из сумм строк. Пусть Отбросим слева все столбцы матрицы вплоть до столбца,

соответствующего символу Можно скомбинировать строки этой новой матрицы и получить систему проверок, ортогональных относительно Но вследствие симметрии каждого проверочного треугольника расположение коэффициентов в этой новой матрице точно такое же, как и в матрице, образованной из отбрасыванием снизу в каждом проверочном треугольнике такого же числа строк, что и столбцов в предыдущем рассуждении. Тогда проверок, ортогональных относительно можно построить прямо из этих строк матрицы .

Иными словами, всегда можно непосредственно образовать столько проверок, ортогональных относительно сколько можно построить и относительно любой суммы информационных шумовых символов. Таким образом, если возможна ортогонализация в L шагов, то возможна и ортогонализации в один шаг, т. е. полная ортогонализация. Следовательно, в случае сверточного кода при скорости более общий метод ортогонализации не приносит никакой выгоды.