г. Декодирование по апостериорной вероятности

Мажоритарное декодирование неэффективно в том смысле, что оно не учитывает статистических особенностей канала, т. е. распределения вероятности помех. Дадим теперь алгоритм декодирования, который при принятии решения о значении дает наилучшую возможность использования информации, содержащейся в системе проверок, ортогональной относительно

Предположим, что шумовая последовательность аддитивна, символы в ней независимы и никаких других ограничений нет. Это означает, что канал должен удовлетворять модели, представленной на рис. 2, где источник помех является источником независимых символов, а сумматор работает в поле

Выбрав критерием качества среднюю вероятность ошибки, мы попытаемся отыскать алгоритм декодирования, который будет приписывать символу такое значение V, для которого условная вероятность

максимальна. Используя формулу Байеса, имеем

Из ортогональности относительно и независимости символов в шумовой последовательности следует, что

Подставляя равенства (17) и (18) в выражение (16) и логарифмируя, приходим к правилу: для следует выбрать такое значение V, при котором величина

максимальна. Для большей четкости сформулируем этот результат в виде теоремы.

Теорема 2. Если дана система проверок, ортогональная относительно шумовая последовательность аддитивна и символы в ней независимы, то правило декодирования, основанное на системе которое определяет с минимальной средней вероятностью ошибки, состоит в следующем: в качестве следует выбрать такое чтобы величина

была максимальной.

Декодирование, выполняемое согласно алгоритму теоремы 2, будем называть декодированием по апостериорной вероятности, или, короче, АВ-декодированием.