д. Пороговое декодирование

Рассмотрим особенности алгоритмов мажоритарного и АВ-декодирования для случая двоичного кода. Пусть представляет собой вероятность того, что есть ошибка, т. е.

Если означает вероятность нечетного числа единиц среди шумовых символов, кроме которые контролируются проверкой т. е. I-й проверкой, ортогональной относительно то

Так как может принимать только два возможных значения, 0 или 1, алгоритм АВ-декодирования

упрощается: следует выбирать тогда и только тогда, когда

Используя (21) и (22), приведем (23) к виду

или

где трактуются как действительные числа. Изложим зуги результаты в следующей теореме.

Теорема 3. Для двоичного канала без памяти с аддитивным шумом алгоритм АВ-декодирования формулируется так: выбирать тогда и только тогда, когда сумма всех А и принадлежащих системе из проверок, ортогональных относительно и трактуемых как действительные числа, умноженных на превосходит пороговое значение

где вероятность того, что среди ошибок, исключая контролируемых ортогональной проверкой, имеется нечетное число единиц.

Подобным же образом теорема 1 в случае двоичного кода сводится к следующей теореме.

Теорема 4. Если система проверок, ортогональных относительно то алгоритм мажоритарного декодирования таков: выбирать

тогда и только тогда, когда сумма всех (трактуемых как действительные числа) превосходит пороговое значение

Поскольку правила декодирования в теоремах 3 и 4 аналогичны и могут быть реализованы одним и тем же пороговым логическим элементом, мы будем пользоваться для описания мажоритарного декодирования или АВ-декодирования для случая ортогональных проверок общим термином — пороговое декодирование. Для удобства будем применять эту же терминологию и в случае недвоичного кода.