§ 3.3. Структура проверок

Из предыдущих замечаний ясно, что необходимо тщательное исследование структуры проверок

сверточного кода. Из уравнений (58) видно, что проверочные последовательности записываются в виде

Следуя нашему обычному методу, представим эти последовательности в виде

здесь проверка в последовательности вычисленная в момент и с помощью схемы, представленной на рис. 8. Из равенства (68) имеем

Так как при то ни одна проверка не будет включать шумовые символы, имевшие место более чем моментов времени тому назад.

В матричной форме равенство (70) для проверок с момента 0 до момента может быть записано в виде

где — единичная матрица порядка

— следующая матрица:

Как видно из (72), все ненулевые элементы матрицы На лежат целиком внутри множества треугольных подматриц, которые мы будем называть проверочными треугольниками. Существует рядов проверочных треугольников и столбцов проверочных треугольников.

Использование проверочных треугольников будет значительным подспорьем в построении кодов для порогового декодирования. Каждый проверочный треугольник имеет следующую общую форму:

Иными словами, структура каждого проверочного треугольника определяется одним из порождающих полиномов. Весь проверочный треугольник единственным образом определяется первым столбцом или последней строкой.

Уяснить структуру проверки поможет один пример. Рассмотрим двоичный сверточный код со скоростью передачи . В качестве порождающих полиномов выберем Тогда уравнение (71) принимает вид (в двоичном поле так как

а это матричное представление следующих уравнений:

Сравнивая (74) и (73), легко заметить, что способ вхождения шумовых символов в проверки может быть прочитан непосредственно по матрице Каждая строка матрицы дает коэффициенты при шумовых символах в соответствующей проверке.

Следует отметить, что образуют систему проверок, ортогональных относительно так как оба уравнения контролируют но никакой другой шумовой символ двумя этими уравнениями не контролируется одновременно. Аналогично можно увидеть, что образуют систему двух проверок, ортогональных относительно . Теперь из теоремы 1 следует, что в множестве первых информационных символов шумовые символы могут быть правильно определены алгоритмом мажоритарного декодирования при условии, что в первых принятых символах произошло не более одной ошибки. Таким образом, как мы показали, один и тот же алгоритм мажоритарного декодирования может быть использован для исправления всех ошибок в принятых последовательностях при условии, что девять символов, принятых в три последовательных момента времени, никогда не будут содержать более одной ошибки.

Покажем теперь, как можно обобщить идеи этого примера, чтобы получить интересное и полезное множество кодов. До конца этой главы мы будем заниматься только двоичными кодами.