§ 5.3. Гауссовский канал

Последний канал, который будет здесь изучен, — гауссовский канал, кратко описанный в § 4.2. Передаваемый сигнал представляет собой положительный или отрицательный (при передаче единицы или нуля соответственно) импульс с амплитудой вольт. Принятый импульс отличается от переданного наложением нормально распределенного случайного импульса с нулевым средним значением и дисперсией Покажем, как для этого канала могут быть получены входные сигналы аналоговой схемы рис. 14, описывающие статистику канала. Будут даны также некоторые указания, как улучшатся характеристики декодирования для этого канала, если использовать не постоянные, а изменяющиеся во времени весовые множители Вспомним, что в § 4.2 сигналы, несущие информацию о статистике канала и поступающие на входы схемы для вычисления весовых множителей, определялись по формуле

для всех и и Эти сигналы могут быть получены следующим образом. Если принят импульс напряжением вольт, то соответствующий полученный

символ истолковывается как 1 или 0 в соответствии со знаком Логарифм отношения правдоподобия L при этом равен

что можно свести к выражению

Равенство (165) показывает, что величина пропорциональна амплитуде принятого напряжения. Используя выражение (131), получаем

С помощью равенств (165) и (166) перепишем выражение (163) в виде

Из равенства (167) следует, что величину можно получить пропусканием принятого импульса через схему рис. 23. Нелинейное устройство, входящее в эту схему, имеет точно такой же вид, как и в аналоговой схеме рис. 14.

В принципе вычисление вероятности для гауссова канала может быть выполнено посредством равенства (145). Однако в формуле (145) необходимо произвести усреднение по значениям весовых множителей. Поскольку весовые множители представляют собой нелинейные функции нормально распределенных принятых напряжений, то в общем случае нельзя получить аналитическое выражение. Однако существует простой случай, когда может быть найдена непосредственно. Этот случай может служить иллюстрацией тех преимуществ, которые можно

получить, применяя изменяющиеся во времени весовые множители. Этот простой случай имеет место, когда рассматривается код, в котором проверочных символов являются повторением единственного в кодовом ограничении информационного символа; такой блоковый код можно рассматривать как вырожденный случай сверточного кода.

Рис. 23. Схема вычисления для гауссова канала.

(Полное описание соответствующего канала, включающее выкладки, аналогичные равенствам (172) — (174), содержится в статье Блюма и др. [1].) В этом случае удобно пользоваться величинами введенными в для которых имеем

и

Пользуясь равенством (164), представим весовые множители в виде

где принятый импульс для символа Поскольку приписывается значение 1 или 0 в зависимости от знака у, правило АВ-декодирования, описанное в становится таким: выбирать тогда и только тогда, когда

Предположим без ограничения общности, что была передана единица. Тогда сумма в левой части неравенства (171) представляет собой нормально распределенную случайную величину со средним значением и дисперсией так как это есть сумма статически независимых нормально распределенных случайных величин со средним значением и дисперсией Ошибка имеет место, если эта сумма отрицательна, поэтому

откуда

Например, если то равенство (173) дает Из рис. 19 находим, что при передаче по двоичному симметричному каналу с вероятностью перехода тот же самый код дает такую же величину Этот двоичный симметричный канал можно рассматривать как полученный из гауссовского, если наблюдать только полярность выходного импульса и такого, что

Решение уравнения (174) дает Таким образом, в рассмотренном примере по сравнению с использованием постоянных весовых множителей в отношении сигнал—шум можно получить выигрыш в дб.