§ 7.1. Ортогонализация в L шагов

Теперь можно описать метод обобщенной ортогонализации. Начиная с исходной системы проверок,

соответствующих проверочной матрице Я, предположим, что мы можем построить не менее проверок, ортогональных относительно некоторых сумм информационных шумовых символов. (Если код не допускает ортогонализации в L шагов, можно применить алгоритм декодирования, образовав на каждом шаге столько ортогональных проверок, сколько возможно.) Затем предполагается, что эти суммы известны (для отыскания значения каждой из этих сумм применяется пороговое декодирование) и они рассматриваются как дополнительные проверки, т. е. как известные суммы шумовых символов. Затем для получения системы проверок, соответствующих проверочной матрице Я, эти добавочные проверки комбинируются с первоначальными проверками. Если все суммы декодированы верно, то матрица будет верной проверочной матрицей. Таким же образом матрица преобразуется в матрицу В конце концов получается некоторая матрица из которой можно построить проверок, ортогональных относительно Если этот процесс можно выполнить для всех то мы будем говорить, что код допускает ортогонализацию в L шагов.

Согласно этому определению, ортогонализация в один шаг совпадает с полной ортогонализацией, определенной в § 6.1. Мы видим, что -код Хемминга может быть ортогонализован в два шага.

Если на каждом шаге процесса ортогонализации в качестве правила для принятия решения используется мажоритарное декодирование, то при условии, что код ортогонализуется в L шагов, в принятом блоке будут исправлены или менее ошибок. Это следует из того, что множество сумм на первом шаге будет декодировано верно и будет верной проверочной матрицей. По той же причине будут верными проверочными матрицами, и отсюда мажоритарное решение относительно будет правильным при

Представляется правдоподобным, что при использовании на каждом шаге АВ-декодирования можно получить более хорошие результаты. На первом шаге

это должно быть верным, так как правило АВ-декодирования должно давать по меньшей мере такую же малую вероятность ошибки, что и мажоритарное декодирование, при определении сумм из системы ортогональных проверок. Однако после того, как эти суммы скомбинированы с первоначальными проверками для образования проверок, соответствующих модифицированной матрице , система ортогональных проверок, образованных из матрицы , не обладает больше строгой статистической независимостью, которой она обладала бы, если матрица являлась бы первоначальной проверочной матрицей. Представляется, однако, целесообразным рассматривать эти ортогональные проверки так, как если бы они обладали свойством независимости, необходимым для применения правила АВ-декодирования, так как если матрица была образована неверно и поэтому не являлась правильной проверочной матрицей, то, вероятней всего, процесс декодирования окажется неудачным.