Приложение А. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И СВОЙСТВА ОБЪЕКТОВ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ

Абелевой группой называется множество элементов с операцией (здесь это будет сложение), такой, что для любых трех элементов и с этого множества выполняются следующие аксиомы. 1) а принадлежит множеству. 2) Имеет место равенство . 3) Существует единственный элемент множества 0, такой, что . 4) Для каждого элемента а существует единственный элемент , такой, что 5) Имеет место равенство В этой книге под словом «группа» всегда подразумевается абелева группа.

Подгруппой называется подмножество элементов группы, которое само образует группу относительно той же операции.

Если есть подгруппа группы и а — любой элемент группы то смежным классом группы по подгруппе Я, содержащим элемент а, называется совокупность всех таких элементов группы что принадлежит подгруппе Смежный класс, содержащий 0, есть сама подгруппа. Любой другой смежный класс называется собственным смежным классом.

Кольцом называется аддитивная абелева группа со второй операцией (здесь это будет умножение), такой, что для любых элементов группы и с выполняются следующие аксиомы. 1) принадлежит группе. 2) Выполняется равенство . 3) Выполняется равенство . 4) Выполняется равенство Кольцо называется коммутативным, если

Полем называется кольцо, все ненулевые элементы которого образуют абелеву группу по умножению. Если где простое число, то можно показать, что существует поле, содержащее элементов. Это поле называется полем Галуа из элементов и обозначается символом

Множество полиномов относительно одного переменного D с коэффициентами из образует коммутативное кольцо, называемое кольцом полиномов над полем

Идеалом, порожденным полиномом называется множество всех полиномов вида где произвольный полином.

Классом вычетов, содержащим полином по модулю идеала, порожденного полиномом называется множество всех полиномов таких, что принадлежит идеалу.

Множество классов вычетов по модулю идеала, порожденного полиномом образует кольцо, называемое кольцом классов вычетов по модулю идеала. Это свойство означает, что сумма или произведение полиномов из двух классов вычетов всегда принадлежит некоторому третьему классу вычетов независимо от выбора этих полиномов.

(Определения и свойства, описанные здесь, можно найти в любом учебнике по современной алгебре.)