ГЛАВА VI. ЗАДАЧИ НЕБЕСНОЙ И АТОМНОЙ МЕХАНИКИ

§ 1. Движение Кеплера

1. Элементы орбиты для кеплерова эллипса.

Если в начале координат находится масса которая действует на другую массу (положение которое определяется плоскими полярными координатами силой, притягивающей ее к и определяемой законом тяготения Ньютона:

то дифференциальное уравнение орбиты имеет, на основании гл. 111, § 3, (20) вид:

где произвольная постоянная. Если ввести как новую переменную, то (2) может быть легко проинтегрировано, причем появляются две дальнейшие произвольные постоянные. При соответствующем обозначении трех постоянных интегрирования в конечном уравнении орбиты, последнее имеет в плоских полярных координатах вид

Если что мы будем всегда в дальнейшем предполагать, то (3) представит полярное уравнение эллипса с большой полуосью а (направлена которой составляет угол с полярной осью) и счисленным эксцентриситетом Предположение необходимо потопу, что, согласно гл. II, § 3, при законе (1) орбита, определяемая формулами (2) и (3), может быть действительно пройдена только при положительном С, а из вытекает, что Если мы хотим установить также и положение орбиты в пространстве, и. необходимо задать две дальнейшие величины: угол который плоскость орбиты составляет с экваториальной плоскостью системы пространственных полярных координат гл. § 2, (16), и угол между линией пересечения плоскости орбиты и плоскости экватора (узловой линией) и осью

Если направить полярную ось плоской координатной системы по узловой линии, то эллиптическая орбита определяется по положению и форме следующими пятью постоянными: (наклонностью орбиты), (долгота восходящего узла). Вместо часто пользуются величиной "долготой перигелия". Пять "элементов орбиты" вместе со временем в которое масса проходит через перигелий, составляют шесть постоянных интегрирования

задачи. Так как формула энергии в плоских или пространственных полярных координатах имеет вид:

то в первом случае х, а во втором 9 есть скрытая координата. Поэтому, согласно гл. II, § 2, (3), при движении остаются постоянными и, следовательно, должны выражаться через элементы орбиты. Если мы используем то обстоятельство, что кинетическая энергия есть однородная функция второй степени, то из гл. II, § 2, (3) вытекает, если мы преобразуем в (4) оба выражения:

следовательно:

Проведем через массу сферу радиуса с центром в начале координат и нанесем на этой сфере следующие окружности: окружность пересечения с плоскостью орбиты, экватор полярной системы параллельную окружность и меридиан через Если обозначить угол между плоскостью орбиты и плоскостью параллели (с полярным расстоянием ) через то мы получим, разлагая вектор касательной скорости длины на две взаимно перпендикулярные составляющие вдоль параллели и меридиана: Для ирямоугольного сферического треугольника, образованного экватором, меридианом и плоскостью орбиты мы имеем Поэтому для составляющих обобщенного импульса получается: