15. Ток и циркуляция.
Пусть две точки
жидкости соединены некоторой линией А В, лежащей целиком внутри жидкости (рис. 23). Линейный интеграл
мы назовем током вдоль линии
Ток вдоль замкнутой линии называется циркуляцией и обозначается буквой Г:
Рис. 23.
Ток вдоль линии, соединяющей две точки
вообще говоря, зависит не только от этих точек, по и от пути интегрирования. Ток не зависит от пути и определяется конечными точками только если
есть полный дифференциал. В этом случае должно быть:
т. е. должен существовать потенциал скоростей; тогда
При атом не следует упускать из виду следующего ограничительного условия. Ток между
одновначно определен лишь в том случае, если потенциал скоростей во всей рассматриваемой области конечен и однозначен. В этом случае ток между двумя любыми точками, лежащими на двух эквипотенциальных поверхностях со значениями потенциала
и будет один и тот же.
Следует отличать случай односвязной области от многосвязных областей. Область называется n-связной, если в ней существует
замкнутых линий, которые не могут быть преобразованы одна в другую с помощью непрерывной деформации внутри области. В односвязной области всякую замкнутую линию можно стянуть к любой точке этой области. В n-связной области имеется
замкнутая кривая, которые не могут быть преобразованы одна в другую и стянуты в точку.
Мы будем рассматривать такое движение жидкости, потенциал скоростей которого конечен во всей области. Если потенциал скоростей обращается в бесконечность в некоторых точках, или на некоторых замкнутых или открытых кривых, то мы вырежем такие места из нашей области, окружив их маленький шаракш или трубками. При этом область, вообще говоря, становится более