15. Ток и циркуляция.

Пусть две точки жидкости соединены некоторой линией А В, лежащей целиком внутри жидкости (рис. 23). Линейный интеграл

мы назовем током вдоль линии Ток вдоль замкнутой линии называется циркуляцией и обозначается буквой Г:

Рис. 23.

Ток вдоль линии, соединяющей две точки вообще говоря, зависит не только от этих точек, по и от пути интегрирования. Ток не зависит от пути и определяется конечными точками только если есть полный дифференциал. В этом случае должно быть:

т. е. должен существовать потенциал скоростей; тогда

При атом не следует упускать из виду следующего ограничительного условия. Ток между одновначно определен лишь в том случае, если потенциал скоростей во всей рассматриваемой области конечен и однозначен. В этом случае ток между двумя любыми точками, лежащими на двух эквипотенциальных поверхностях со значениями потенциала и будет один и тот же.

Следует отличать случай односвязной области от многосвязных областей. Область называется n-связной, если в ней существует замкнутых линий, которые не могут быть преобразованы одна в другую с помощью непрерывной деформации внутри области. В односвязной области всякую замкнутую линию можно стянуть к любой точке этой области. В n-связной области имеется замкнутая кривая, которые не могут быть преобразованы одна в другую и стянуты в точку.

Мы будем рассматривать такое движение жидкости, потенциал скоростей которого конечен во всей области. Если потенциал скоростей обращается в бесконечность в некоторых точках, или на некоторых замкнутых или открытых кривых, то мы вырежем такие места из нашей области, окружив их маленький шаракш или трубками. При этом область, вообще говоря, становится более

многосвязной, по крайней мере, в случае замкнутых особенных линий. Если в односвязной областй существует повсюду конечный потенциал скоростей, то он однозначен. Ток между двумя точками не зависит тогда от пути, и циркуляция по замкнутому контуру равна нулю.

В многосвязной области возможно существование повсюду конечных циклических потенциалов скоростей. Циклический потенциал скоростей в -связной области при однократном обходе но одной из несводимых к одной точке замкнутых кривых изменяется на постоянную величину или Эти константы суть циркуляции по соответствующим кривым. Потенциал скоростей определен, следовательно, лишь с точностью до суммы этих циркуляции, умноженных на целые числа. С такой же неопределенностью

определяется и ток между двумя точками его значение зависит от выбора пути.