2. Вычисление объемов в фазовом пространстве.

Конечный объем -мерного фазового пространства можно вычислить в прямоугольной системе координат но формуле:

Введя криволинейных координат мы получим уравнения

т. е.

Построим элементарный параллелепипед из элементарных векторов, направления которых совпадают с новыми координатными линиями Составляющие этих векторов по направлению равны:

Объем элементарного параллелепипеда равен определителю:

где

представляет собой функциональный определитель переменных по переменным Поэтому

или, вводя элемент объема

Введем теперь такие переменные чтобы в -мерном пространстве § 7, (3), заполненном фазовыми кривыми, величины были постоянны, так что каждая точка определяется системой значений Для этой дели положим:

или, — если решить эти уравнения относительно что по предположению можно сделать однозначно:

Отсюда следует по (10), что

На основании свойств функционального определйтеля из (14) и (12) следует, что

Таким образом, для элемента объема (11а) мы получим:

Если исходить из линейного элемента, выраженного в новых координатах, то мы сможем эти формулы написать так, чтобы они не зависели от старых координат Как известно, длина линейного элемента определяется равенством:

которое для произвольных координат можно, на основании (8), написать в виде

Если коэффициенты при обозначить через т. е. положить:

то мы получим:

По теореме умножения определителей из (10), (11) и (19) следует:

где есть определитель, составленный из Поэтому мы можем написать формулу (11а) для элемента объема в следующем виде:

Пусть в -мерном фазовом пространстве задано -мерное, вообще говоря, "искривленное" подпространство при помощи следующих уравнений:

точно так же, как в трехмерном пространстве х, у, z двухмерная поверхность определяется тем, что величины задаются как функции двух "гауссовых переменных" (это соответствует случаю Тогда линейный элемент в этом подпространстве имеет вид:

где величины определяются уравнениями (19) и (23). Можно показать, что элементы объема области в этом подпространстве определяются аналогично (22) формулой:

где представляет собою -мерный определитель, составленный из коэффициентов входящих в (24).

Вычислим теперь для случая, когда -мерное подпространство (23) совпадает с -мерным пространством, определенным однозначными интегралами § 7, (3) с постоянными и "заполненным" соответствующими траекториями. Для этого введем по уравнению (13) координату и положим для Тогда уравнения:

примут требуемый вид (23) и в силу (12) будут описывать требуемое нространство. Так как на основании (26)

то из (24) следует, что

где