9. Уравнения Лагранжа.

Если желательно узнать траекторию отдельной частицы жидкости и движение последней по этой траектории, то координаты х,

частицы в некоторый момент следует считать функциями от времени и от ее начальных (декартовых или же обобщенных) координат с в момент Тогда субстанциальные производные

в уравнениях (25), 8, обращаются в частные производные При этом и все остальные величины, входящие в уравнение (25), , следует считать зависящими не от х, у, z, а от Умножая уравнения (25), , на производные от по с и складывая, мы получим три новых уравнения:

в которых и давление также выражено через новые координаты Эта форма уравнений движения носит название уравнений Лагранжа, хотя эти уравнения, так же как и предыдущие уравнения (27), , были впервые получены Эйлером.

Стоящие в правой части равенства выражения

и т. д. суть обобщенные силы в смысле Лагранжа. Если внешние силы имеют потенциал, то в уравнениях Эйлера будет:

а в уравнениях Лагранжа

Уравнениями Лагранжа выгодно пользоваться, между прочим, при изучении нестационарного движения жидкости со свободной поверхностью. Частица, находящаяся в некоторый момент времени на поверхности, и В дальнейшем остается, вследствие непрерывности движения, на этой поверхности. Уравнения Лагранжа дают, следовательно, координаты точек на поверхности в момент времени как функции от значений координат этих точек в момент

При применении уравнений Лагранжа необходимо преобразовать также к уравнение неразрывности [уравнение (4), 3] к переменным Для простоты мы будем считать, что с суть прямоугольные, а не обобщенные координаты частицы в момент

Если ввести координаты то количество жидкости заключенное внутри некоторой замкнутой поверхности, выражается следующим образом:

где

есть функциональный определитель (якобиан).

Уравнение неразрывности выражает тот факт, что масса отдельной частицы жидкости во время движения не изменяется. Следовательно, должно быть

так что не должно меняться со временем. При плотность равна а координаты совпадают с их начальными значениями якобиан при этом равен 1, а уравнение неразрывности принимает вид:

В частном случае несжимаемой жидкости