4. Цримеры.

Рассмотрим движение материальной точки массы на плоскости влиянием упругих сил. Пусть прямоугольные координаты, следовательно, составляющие импульса. Пусть, далее, в направлении действует сила , где - постоянная, характеризующая силу, действующую в направлении соответствующей координаты. В таком случае функция Гамильтона имеет вид:

Это имеет тот частный вид, который изучен в начале 1. Поэтому можно найти уравнения разделения (1), удовлетворяющие тождеству полагая

Решая их относительно получим:

т. е. ур-ния вида (1) или (14). Тогда ур-ние (3) дает:

После этого, в силу (4) и (20), решения уравнений движения принимают вид:

Если вычислить интеграл, то в левой части получим

Решая относительно мы найдем, что

где произвольные постоянные. Ур-ние (23) представляет собой наложение двух гармонических колебаний: одного в направлении с частотой другого — перпендикулярно к первому о частотой Из (19), (21) и § 4, (13) следует:

Интеграл здесь тот же, что и в ур-нии (22) и, следовательно,

Если решить это относительно и вставить результат в первые ур-ний то мы получим:

Это — искомое касательное преобразование, которое после подстановки в (19) приводит к равенству Следовательно, величины определенные ур-нием (25), представляют канонические неременные, соответствующие гамилыо» новой функции (19).

В качестве второго примера рассмотрим движение материальной точки массы притягиваемой по закону тяготения Ньютона к неподвижной материальной точке массы находящейся в начале координат. Представим движение в пространственных полярных координатах, так что гамильтонова функция будет определяться уравнением (54) § 2. При этом для V нужно подставить ньютонов потенциал к где х означает постоянную тяготения. Наша задача заключается в том, чтобы определить как функцию от как функцию от как функцию от и при этом все три должны зависеть от трех произвольных постоянных таким образом, чтобы имело место тождество вида:

Так как есть скрытая координата, то прежде всего, согласно примечанию в конце 3, мы положим: Теперь можно применить либо общий метод, изложенный в 3, либо сокращенный метод, к которому приводит следующее замечание: если не может быть представлено как функция от (как мы предполагали в начале 1), но имеет вид то можно положить решая относительно получить уравнения разделения со всеми свойствами, которыми обладают уравнения (1), причем будет просто равно Если мы применим эти соображения к уравнению (26), то наряду мы должны еще положить

Если мы решим эти уравнения относительно то получим уравнения, соответствующие уравнениям (1):

Вставляя эти выражения в уравнение (26), мы получим Далее, из уравнений (2) следует:

Применение уравнений (4) дает теперь решение уравнений движения, причем

Необходимо принять во внимание, что хотя гамильтонова функция уравнения (26) удовлетворяет условию (6) разделимости, но это свойство связано с выбранной системой координат. Если мы вместо полярных координат введем

прямоугольные пространственные координаты и соответствующие составляющие импульса обозначим то примет вид:

и не будет уже удовлетворять уравнению (6). Переменные, при которых разделение возможно, называются "разделяющимися переменными". Следовательно, прямоугольные координаты в случае ньютоновой задачи одного тела не разделяются.