1а. Комплексное представление функции напряжений.

Во многих случаях очень удобно представлять функцию напряжений, а также сами напряжения и смещения при помощи функций комплексной переменной и сопряженной переменной Выше [формула (13)] мы ввели комплексную функцию;

где функция, сопряженная с Так как представляют собою вещественную и мнимую части функции комплексной переменной то они суть потенциальные функции, т. е. Кроме того имеем:

Легко непосредственно проверить на основании этого, что

откуда

где — потенциальная функция; значит:

Пусть потенциальная функция, сопряженная Положим:

Тогда, очевидно, предыдущая формула может быть переписана так:

Эта формула, по существу, совпадает с формулой, данной Гуроа. Вводя функции вмеото в выражения для напряжений и смещений, получаем весьма удобные и важные формулы, совпадающие по существу с формулами, полученными Колосовым иным путем. Не останавливаясь на их выводе, заметим, что при их помощи весьма просто решается ряд важных вадач, имеющих практический и теоретический интерес. Укажем еще одну простую формулу, вытекающую из формулы Переписав эту последнюю в виде

и замечая, что - вещественная величина, получим:

где потенциальные функции:

Так как прибавление линейной функции к не ивменяет напряжений, то мы можем всегда прибавить к произвольную комплексную постоянную. Если начало координат находится в рассматриваемой области, то эту постоянную можно выбрать так, чтобы и тогда — у будет регулярна и в начале координат; значит, функции в формуле можно считать регулярными; однако они могут быть многозначными в случав многосвязных областей.