4. Возмущения просто-пориодических траекторий.

Предположим теперь, что невозмущенпое движепие вырождено, следовательно однократно- или просто-периодично с периодом и представлено формулой (15). В таком случае по общему правилу гл. II, § 6, 3, можно ввести новые переменные, при которых простой периодический характер становится яспым вследствие выпадения "собственных" угловых переменных. Так как соотношение, соответствующее гл. II, § 6, (10) между частотами имеет в пашем случае вид то для Новых угловых переменных, которые мы обозначим мы имеем, в силу гл.

Так как соответствующие переменные действия должны, согласно гл. II, § 6, (13) удовлетворять тождеству то из (16) вытекает:

Так как в таком случае из (3) следует следовательно и не входит в то есть несобственная угловая переменная, единственная собственная. На основании § 1, (25) уравнения движения имеют в этих неременных вид:

Согласно (2), (16), есть постоянная разность фаз между двумя взаимно перпендикулярными частичными колебаниями (15), из которых составляется наше периодическое колебание. Три величины являются постоянными, характеризующими эллиитическую траекторию материальной точки. Действительно, если ввести в (2) новые переменпые то мы получим:

Если мы из первого уравнения вычислим как функции от и с помощью этих формул выразим разложенную правую сторону второго урав нения через то возводя в квадрат, мы получим уравпение эллиптической орбиты:

Если теперь действует возмущающая сила, то периодические возмущения которые в течение периода — невозмущеннои системы в среднем равны нулю действуют таким образом, что форма траектории становится не в точпости эллиптической, но эти отклонения со временем не складываются друг с другом, а за каждый период — все время описывается почти эллиптическая орбита. Наоборот, вековые возмущения действуют так, что постоянные характеризующие эллиптическую орбиту, медленно меняются в продолжение многих периодов колебания. Эти возмущения можно рассматривать как медленные движения и деформации траектории, которая, однако, при этом все время остается приблизительно эллиптической. На основании теории, развитой в § остется постоянным также в течение всех вековых возмущений, т. е. по (2) и (17): сумма квадратов амплитуд частичных колебаний испытывает только такие изменения, которые выравниваются в течение каждого периода Наоборот, и испытывают вековые изменения, которые, согласно § 1, (35), удовлетворяют дифференциальным уравнениям:

если В вековая (независящая от часть возмущающей функции В случае I возмущающая функция (5) вообще не имеет векового члена. Поэтому и эллиитическая орбита сохраняет все свои параметры (положение, величину, отношение осей). Наоборот, если мы предположим, что возмущающая сила имеет вид, упомянутый в 2 или 3, то мы подучим В, если введем в (10) новые переменные согласно (16), (17), и выкинем все члены, содержащие Тогда, в силу равенства

и соответственно:

В первом случае В зависит только от и, система уравнений (21) может быть непосредственно проинтегрирована, и решение имеет, согласно § 1; (42), вид:

Следовательно, эллиптическая орбита имеет форму, которая получается из уравнения (20) при одним изменением Цели представляет угол между осью и большой полуосью (следовательно, также. линией апсид) эллипса, лежащей в первом квадранте, то, преобразуя уравнение (20) к главным осям и приравнивая нулю коэффициент при мы получаем:

откуда, согласно (23), получается закон изменения положения эллипса (вращения линии апсид). Если выразить длины осей через то мы получим также закоп их изменения. Если В определяется вторым из уравнений (22), то оно содержит также и уравнения (21) уже не могут быть проинтегрированы в конечной форме. Необходимо либо выполнить, новое каноническое преобразование, которое удалит из В одну переменпую, либо нужно удовлетвориться приближенным решением § 1, (34), которое дает только члены, линейные относительно Если же выбрать начальные условия так, что и мало по сравнению с то можно применить способ, изложенный в § 1, 4-, который для малых дает точные формулы вековых возмущепий (т. е. не пренебрегает степенями X). Это предположение означает очевидно, что невозмущенное движение, представляет очень вытянутый эллипс, большая ось которого составляет очень малый угол с осью Мы введем, согласно § 1, (38), новые переменные (причем под знаком корня поставлено — и, чтобы получить вещественные Подставляя во второе уравнение (22) и применяя формулу мы получим выражение:

соответствующее § 1, (40), где не приняты во внимание все высшие степени В таком, случае дифференциальные уравнения, согласно § 1, (41), будут:

Если мы сделаем, согласно гл. III, § 3, (7), предположение то для получатся два линейные однородные уравнения с определителем приравнивая его нулю, мы получим уравнение,

определяющее "вековое уравнение". Так как оказывается чисто мнимым, то мы положим, (27)

Следовательно, илгеют вид и потому остаются всегда малыми, если они вначале были малы. Эллиптическая орбита всегда остается вытянутой и линия апсид испытывает медленные колебания около оси с периодом большим по сравнению с