ГЛАВА III. УСТОЙЧИВОСТЬ И МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ

§ 1. Квазистатические движения

1. Упрощение интегрирования при наличии скрытых координат.

Если в лагранжеву функцию не входит часть координат, а входят только их производные по времени, то координат можно разбить на две группы: 1) только что упомянутые "скрытые" координаты и 2) входящие в "видимые" координаты. Предположим, что имеется и. скрытых координат видимых координат В таком случае представляет собой функцию от Следовательно:

Для функции Рауза В мы имеем в таком случае, в силу гл. II, § 2, (56), также Следовательно, функция В, образованная по отношению к скрытым координатам в обозначениях гл. II, § 2, (55) представляет собой функцию от Если теперь мы используем уравнения движения в форме Рауза гл. § 2, (57), то, в силу из них вытекает постоянство величин В таком случае В является функцией только произвольных постоянных Вторая группа названных уравнений (57) состоит в таком случае из дифференциальных уравнений 2-го порядка для видимых координат. Они имеют в точности вид уравнений Лагранжа, но только вместо в них входит функция Рауза В. Интегрируя эту систему уравнений второго порядка, мы получим видимых координат в виде функций от времени и от произвольных постоянных интегрирования, к которым прибавляются еще произвольных величин Если вместо вставить эти функции, то В превращается в известную функцию от и произвольных постоянных. Но в таком случае обе первые группы уравнений движения гл. II, § 2, (57) допускают интегрирование посредством простых квадратур. Действительно, очевидно, величины также будут представлять собой известные функции от постоянных, следовательно:

где интеграл берется как неопределенный, а означают произвольные постоянные. Вместе с величинами наши решения имеют теперь как раз

произвольных постоянных. Следовательно, если имеется скрытых координат, то интегрирование уравнений движения можно свести к и уравнениям:

квадратурам. Из (2) получаются "видимые", а из (1) скрытые координаты, как функции времени и произвольных постоянных.

В качестве примера рассмотрим плоское движение под действием центральной силы. Пусть материальная точка массы притягивается неподвижпым центром массы с силой где какая угодно функция расстояния Если воспользоваться полярными координатами с началом в то согласно гл. II, § 2, (29), функция Лагранжа имеет вид:

где Здесь есть скрытая, а единственная видимая координата. Поэтому на основании предыдущего мы можем написать уравнение в форме Лагранжа, для одного Здесь надо положить Следовательно, функция причем

При посредстве этого уравнения может быть исключено, и В оказывается функцией от

На основании уравнения определяется как функция от времени с помощью одного единственного дифференциального уравнения:

Из (1) получается в таком случае:

где произвольные постоянные.