9. Поверхностные волны Рэлея.

Мы разобрали решения задачи о колебании полупространства, в котором сначала оба потенциала, продольный и поперечный, были вещественными плоскими волнами, падающими и отраженными; затем только поперечный состоял из плоских волн, продольное же возмущение было комплексной плоской волной с ограниченными смещениями.

Возникает вопрос: не существует ли таких решений, в которых как продольное, так и поперечное возмущение были бы комплексными плоскими волнами с ограниченными смещениями.

Оказывается, что такие решения для случая свободной границы существуют.

Выбирая в дальнейшем для потенциалов такие функции комплексного переменного, производная которых обращается в нуль на бесконечности, мы получим решения, в которых смещения в далеких точках полупространства будут сколь угодно малы. Весь эффект сказывается, таким образом, только в тбчках поверхности.

По этой причине, волны такого типа называются поверхностными волнами. Переходим теперь к более детальному анализу теории поверхностных волн. Допустим, что продольный потенциал задан формулой:

где вещественное число и и где функция комплексного переменного, регулярная в верхней полуплоскости и такая, что для этой полуплоскости.

Попробуем искать условия, при которых потенциал может быть задай в виде:

Подставляя выражения (67) и (68) в условия (25), получим:

Приравнивая нулю оба коэффициента при мы получим систему двух уравнений для определения одной постоянной Эти уравнения допускают решение, отличное от бесконечности, лишь в том случае, когда определитель

обращается в нуль.

Мы получим, таким образом, условие существования решений предполагаемого типа:

Уравнение (71), называемое обычно уравнением Рэлея, как мы докажем далее, имеет единственный вещественный положительный корень, лежащий в промежутке и другой, равный ему по модулю, отрицательный.

Обозначая этот корень черев — и подставляя всюду — вместо в, мы получим после элементарных выкладок окончательный результат:

Совершенно аналогично, рассматривая функцию определенную в нижней полуплоскости, мы придем к формулам:

Полусумма решений вида (73) и (73), если сопряженные функции дает нам, очевидно, вещественную функцию. Результат, полученный нами, может быть при этом записан в виде:

Волны типа (74) по имени Рэлея, впервые указавшего существование частных решений такого типа, называются рэлеевскими волнами или поверхностными В волнами.

Они имеют большое значение в сейсмологии и наблюдаются неизменно при каждом землетрясении.

Качественный характер полученных решений представляется довольно интересным. Вся картина движения с течением времени, очевидно, перемещается вдоль оси со скоростью с, оставаясь в целом неизменной. Наблюдатель, Движущийся со скоростью с вдоль оси х, видел бы вместо движения покой, Число с называется обычно рэлеевской скоростью.

Так как максимальные значения как вещественной, так и мнимой частей функции комплексного переменного находятся на контуре, то вектор смещения будет иметь максимальное значение на поверхности полупространства и будет убывать вглубь среды. Закон этого убывания может быть различным в различных случаях.

В случае, указанном Рэлеем, когда функция

убывание происходит по показательному закону.

Для того чтобы закончить наше исследование, нам остается только рассмотреть уравнение Рэлея (71).

Существование корня у этого уравнения легко установить, следя за изменением знака левой части, которая положительна при и отрицательна при так как разложение ее в степенной ряд в окрестности бесконечно удаленной точки начинается с члена:

Единственность этого корня вытекает из постоянства знака производное от левой части в этом промежутке. Действительно, эта производная равна:

(см. скан)

Первое слагаемое этой суммы отрицательно, так как

а второе — по той причине, что

Величина рэлеевской скорости для случая (гипотеза Пуассона) приближенно равна 0,91946.