4. Решение в форме Даламбера.
Только что указанное решение было дано Даниилом Бернулли. Несколько раньше Даламбер дал несколько другое решение, которое мы теперь выведем не непосредственно, а из решения Бернулли.
Мы начнем с того, что расширим область в которой первоначально заданы 
заменив 
их разложениями (16) и (17) в ряды Фурье и определяя 
вне промежутка 
значениями этих рядов (которые сохраняют смысл для всех значений ж).
Тогда 
становятся нечетными периодическими функциями, с периодом 21:
С помощью известного тригонометрического преобразования мы можем написать решение в виде
Но мы имеем:
и, следовательно:
и
Далее:
и, следовательно:
Мы получаем, таким образом, новый вид нашего решения:
Непосредственной подстановкой легко убедиться, что это решение удовлетворяет дифференциальному уравнению движения, если только 
дифференцируема дважды, 
один раз; в остальном функции 
могут быть произвольными. Граничное условие 
при 
выполняется благодаря нечетности функций 
граничное условие для 
также выполняется в силу нечетности этих функций и в силу их периодичности. Покажем это; имеем:
так же точно
так что
и значит
Применение указанных соотношений позволяет вывести еще одно общее заключение. Заметим прежде всего еще, что для нечетной периодической функции
Мы можем, следовательно, к пределам интегрирования но желанию добавлять или вычитать 21.
Увеличим теперь 
на 
и положим:
Тогда
и, следовательно:
Мы заключаем отсюда, что, спустя промежуток времени 
в точке 
появляется смещение, равное по величине и противоположное по знаку тому смещению, которое имело место в точке х в момент 
Таким образом, отклонение точек струны через промежуток времени 
получится из отклонений, имевших место в начальный момент, зеркальным отражением справа налево относительно середины струны, сопровождающимся зеркальным отражением сверху вниз. Аналогичное имеет место для скоростей, как в этом можно непосредственно убедиться дифференцированием.
