3. Законы энергии и импульса.

Пусть К есть произвольная функция введем взаимную ей функцию К, определяемую формулой:

Если помножить уравнения (9) соответственно на величины и результаты сложить, то получится соотношение:

При его выводе необходимо применить тождества:

Если теперь К представляет собой живую силу механической системы, определяемую уравнением (10), в котором величины не содержат, времени

Если время явно не входит в уравнения (2), то, на основании теоремы Эйлера об однородных функциях, мы имеем, в силу (10), (23):

На основании уравнений (24), (26) приращение живой силы за некоторый промежуток времени равно работе, совершенной приложенными силами за тот же промежуток времени (закон энергии). Если существует потенциал V, то, согласно (4) и § 1 (30):

следовательно,

и из (24), (26), (27) получается интеграл энергии:

где означает постоянную энергии. Если определить "функцию Лагранжа" посредством соотношения:

то уравнения движения (9), в силу (27), принимают вид:

Если какая-либо координата, например не входит в К, и кроме того соответствующая составляющая силы равна 0, то называется "скрытой" координатой, и из (9) вытекает постоянство составляющей обобщенного импульса В этом случае мы получаем интеграл системы уравнений (9):

— интеграл количества движения или интеграл импульса. Если есть прямоугольная координата (например ), то уравнение (31) принимает вид, аналогичный уравнению § 1 (20):