§ 6. Многократно-периодические системы

1. Введение произвольных координат.

Если вместо разделяющихся переменных примененных в § 5, ввести новые переменные считаякаждое функцией от и определить соответствующие обобщенные составляющие импульса согласно § 4, (24) равенством — то из интегралов § 5, (1) мы получим опять интегралов общего вида:

соответствующих уравнениям (38) § 4. Будучи получены преобразованием системы в инволюции § 5, (1), они согласно § 2, 6, сами также образуют систему в инволюции. Если мы решим эти уравнения относительно то они получат вид:

Эти выражения на основании § 4, (39) удовлетворяют тождеству вида:

При этом есть только другая форма функции в § 5, (3).

Поэтому можно ввести "соответствующие" канонические переменные § 5, 1 также посредством уравнений:

Если обладают относительно свойствами периодичности, определяемыми уравнениями § 5 (34), то теми же свойствами обладают и (как однозначные функции Если некоторое определенное например пробегает разобранный в § 5, 5 цикл, а все остальные остаются неизменными, то величины при этом оказываются функциями параметра этим в -мерном пространстве величин определяется замкнутый путь, или, точнее, отрезок кривой, проходимый в прямом и обратном направлениях. Если

обозначить интеграл вдоль этой замкнутой кривой черев то, в силу равенства для интегралов по замкнутому контуру, введенных в § 5, (33) и (36), мы получим соотношения:

При этом сюда нужно подставить значения у, из (1).

Таким образом переменные действия могут быть непосредственно введены, исходя из при помощи равенств (3). Например, если мы в случае ньютоновой задачи одного тела в плоскости будем исходить из гамильтоновой функции в прямоугольных координатах § 5, (29), в которой разделение невозможно, то мы все же можем ввести "соответствующие" канонические переменные и в частности Мы будем исходить из двух интегралов где постоянные обозначены, как в § 5, (26), (27). В прямоугольных координатах эти уравнения, имеют вид: 4

Оба эти интеграла, очевидно, находятся в инволюции. Если мы решим их относительно то получим уравнения, соответствующие (1):

где получается из перестановкой значков и изменением знака Легко убедиться, что

представляет собой полный дифференциал функции производные которой по дают а по дают Обоим обходам по всему циклу значений при постоянном и постоянном соответствуют в плоскости два обхода, для первого из которых мы, в силу тождества имеем соотношение тогда как при постоянном равенство дает так что при вычислении из (3) и (6) остается только один член в правой части уравнения (6). Мы получаем точно значения и в гл. V, § 1, (7).