2. Основные уравнения теории упругости.

Уравнения (2), связывающие напряжения с деформациями, можно решить относительно напряжений, что дает:

где для краткости положено:

Эти уравнения совместно с уравнениями равновесия § 2, (4):

составляют полную систему дифференциальных уравнений в частных производных для напрфкений и деформаций. К ним присоединяются еще граничные условия, которые могут быть различным образом заданы. Мы рассмотрим два наиболее важных частных случая: 1) когда на границе заданы смещения и 2) когда на границе задана нагрузка внешними силами на единицу поверхности по трем координатным направлениям), т. е. когда на границе выполняются условия

Из уравневий (3), (4) и (5) можно исключением получить дифференциальные уравнения только для смещений или только для напряжений. В зависимости от вида граничных условий целесообразно пользоваться той или иной из получаемых систем уравнений.

Подставляя выражения для напряжений из (3) в уравнения равновесия (4) и. вспоминая соотношения (13) и (14) § 2, получаем систему уравнений для смещений

где

Дифференцируя первое из этих уравнений по х, второе по третье по в и складывал их, получаем

где

Из объемных сил мы будем рассматривать только силы тяжести и центробежные силы, для которых

Применяя операцию

к уравнениям мы в этих случаях получим:

Для получения уравнений для напряжений проще всего исключить из уравнений и (7) деформации следующим образом. Будем исходить из уравнений (7)

и (4)

к которым добавим соотношение:

получающееся при сложении уравнений (3).

Применяя к (4) операцию и принимая во внимание (8), мы получаем:

Дифференцируя (7), получаем:

откуда

или

Аналогичным образом получаем для скалывающих напряжений:

Остальные уравнения получаются из (12) и (13) циклической перестановкой

Если объемные силы суть силы тяжести, то постоянны и уравнения при нимают более простой вид:

Следует еще особо отметить одно обстоятельство: при выводе уравнений равновесия обозначали координаты рассматриваемой точки в деформиро-. ванном теле, а в тензоре деформаций дифференцирование производилось по координатам в недеформированном состоянии. Мы, однако, не принимали в расчет этой разницы при подстановке соотношений между напряжениями и деформациями в уравнения равновесия, так как мы ограничиваемся малыми деформациями, при которых этой разницей можно пренебречь. Рассмотрим для пояснения некоторую, функцию Пусть Тогда

Если мы полагаем - равным то это значит, что мы пренебрегли малой величиной по сравнению с единицей].