4. Примеры.
В качестве частного случая 1 примем координату х за параметр и. В таком случае параметрическое уравнение, прибавляющееся к (3) и (5), имеет вид
следовательно,
формулам (4) мы имеем в этом случае:
Вставляя эти значения в уравнение (6), мы получимдифференциальное уравнение траектории:
Выполнение дифференцирования дает:
Мы получили дифференциальное уравнение 3-го порядка для у как функции от х. Следовательно, в плоскости имеется
траекторий. В частности, если мы имеем дело с однородным полем тяжести и выберем вертикальную плоскость в качестве плоскости
то
где
— постоянное ускорение тяготения. В этом случае в
и уравнение траекторий имеет вид:
его общее решение есть
где
— произвольные постоянные. Это есть уравнение всех парабол с вертикальной осью. Согласно (3), только те из них могут действительно проходиться точкой, для которых
откуда следует
следовательно, эти параболы должны быть обращены выпуклостью вверх.
Если мы возьмем теперь прямоугольные координаты в пространстве х, у,
и выберем в качестве параметра и длину дуги, так что
то, согласно (8),
для
получаются значения
Но это — составляющие вектора, длина которого равна обратному значению радиуса кривизны, а направление совпадает с главной нормалью траектории.
В качестве дальнейшего примера рассмотрим центральное движение в
скости, причем примем полярные координаты
Воспользуемся уравнениями (10), (11). Пусть
Пусть, далее, сила действует только по радиусу, т. е.
В качестве параметра возьмем
следовательно,
В таком случае
поэтому, согласно формулам (7), (8) и (9):