4. Примеры.
В качестве частного случая 1 примем координату х за параметр и. В таком случае параметрическое уравнение, прибавляющееся к (3) и (5), имеет вид 
следовательно, 
формулам (4) мы имеем в этом случае:
Вставляя эти значения в уравнение (6), мы получимдифференциальное уравнение траектории:
Выполнение дифференцирования дает:
Мы получили дифференциальное уравнение 3-го порядка для у как функции от х. Следовательно, в плоскости имеется 
траекторий. В частности, если мы имеем дело с однородным полем тяжести и выберем вертикальную плоскость в качестве плоскости 
то 
где 
— постоянное ускорение тяготения. В этом случае в 
и уравнение траекторий имеет вид: 
его общее решение есть 
где 
— произвольные постоянные. Это есть уравнение всех парабол с вертикальной осью. Согласно (3), только те из них могут действительно проходиться точкой, для которых 
откуда следует 
следовательно, эти параболы должны быть обращены выпуклостью вверх.
Если мы возьмем теперь прямоугольные координаты в пространстве х, у, 
и выберем в качестве параметра и длину дуги, так что 
то, согласно (8), 
для 
получаются значения 
Но это — составляющие вектора, длина которого равна обратному значению радиуса кривизны, а направление совпадает с главной нормалью траектории.
В качестве дальнейшего примера рассмотрим центральное движение в 
скости, причем примем полярные координаты 
Воспользуемся уравнениями (10), (11). Пусть 
Пусть, далее, сила действует только по радиусу, т. е. 
В качестве параметра возьмем 
следовательно, 
В таком случае 
поэтому, согласно формулам (7), (8) и (9):
так как по уравнению 
исключая 
из обоих последних уравнений, мы получим после короткого вычисления:
как функции от 
Из уравнения (18) следует:
- произвольная постоянная. Если мы введем вместо обычно употребляемую составляющую силы В, соответствующую координате 
которая, согласно § 2 (4), связана с соотношением 
то, приняв во внимание равенство 
— мы получим из (19)
следовательно, в уравнении 
так как в этом случае 
если предположить, что 