§ 4. Связь между теорией диффузии и волновой механикой

1. Основные положения волновой иеханики.

В этом параграфе мы рассмотрим некоторые задачи волновой механики, которые близки к задачам теории диффузии, и которые поэтому лучше всего рассматривать в свяви с последней.

В основу наших рассуждений мы положим "волновое уравнение" Шредингера, зависящее от времени:

где есть постоянная Планка, — некоторая, вообще говоря, комплексная функция от обобщенных координат а оператор, получающийся и» функции Гамильтона классической механики посредством замены в ней импульсов операторами Решить уравнение Шредингера — это значит найти при заданном начальном состоянии и при заданных граничных условиях "волновую функцию" в любой момент времени. Физический смысл функции заключается в том, что, согласно общепринятой в настоящее время статистической точке зрения, служит мерою вероятности нахождения рассматриваемой системы в момент времени в состоянии

Это статистическое толкование с одной стороны, и формальное сходство между дифференциальным уравнением (1) и уравнением классической статистики Фоккера и Планка § 1, (13), с другой, позволяют предположить, что между волновой механикой и теорией диффузии существует определенная связь. Если исходить из большого семейства одинаковых систем, начальные положения которых в пространстве конфигураций в начальный момент времени распределены с относительной частотой то распределение относящееся к моменту времени получается из начального распределения посредством некоторого обобщенного процесса диффузии. Однако между волновой механикой и классической теорией диффузии существует глубокое различие, заключающееся, во-первых, в том, что в основное уравнение (1) входит мнимый множитель во-вторых, в том, что роль концентрации играет не сама функция представляющая собой "амплитуду вероятности", а квадрат ее абсолютного значения.

Мы ограничимся рассмотрением системы, состоящей из одной единственной материальной точки массы находящейся под действием внешних сил, определяемых независящим от времени потенциалом Так как в этом случае функцию Гамильтона можно написать в виде:

то, по предыдущему, соответствующий оператор имеет вид:

( - оператор Лапласа). Подставляя (2) в (1), мы получим следующее дифференциальное уравнение:

Функция комплексно сопряженная с будет удовлетворять дифференциальному уравнению вида:

Если внешних сил нет и во всех точках пространства равно нулю, то мы получим из (3):

т. е. уравнение, которое при вамене на коэффициент диффувии совпадает с обычным дифференциальным уравнением диффузии гл. ХIII, § 1, (22) при отсутствии внешних сил.

В дальнейшем мы всегда будем Предполагать, что функция стремится к нулю на бесконечности достаточно быстро, и будем ее нормировать таким образом, чтобы удовлетворялось соотношение:

где интегрирование производится но всему пространству. Легко убедиться в том, что условие нормировки (6) совместно с уравнениями (3) и (4). В самом деле, если умножить (3) на а (4) на сложить полученные проивведения и затем проинтегрировать по всему пространству, то с помощью векторной формулы

и теоремы Гаусса мы получим:

так как поверхностный интеграл нужно взять по бесконечно удаленной поверхности.

Нормировка (6) удобна тем, что выражение равно при этом вероятности нахождения частицы в момент времени в точке, координаты которой лежат между Поэтому среднее значение пекоторой функции зависящей от координат частицы, равпо: