4. Теорема Гаусса; поток.

Мы видели, что интенсивность источников, заключенных в некотором элементе объема, равна увеличению количества Жидкости в этом объеме, происходящем из-за увеличения ее плотности, плюс избыток вытекающей из объема жидкости над втекающей. Это справедливо также и для конечных объемов. Этот избыток может быть выражен в виде интеграла, распространенного по поверхности, ограничивающей наш объем, и представляющего поток через поверхность.

Под потоком черев ограниченную контуром или замкнутую поверхность мы понимаем количество жидкости, протекающее в единицу времени черев эту поверхность. Поток мы считаем положительным в одном из двух возможных направлений, а именно в том, в котором мы считаем ноложительным направление нормали к поверхности. Для замкнутой поверхности положительной нормалью мы будем считать нормаль, направленную внутрь.

Обозначим черев и единичный вектор положительной нормали к элементу поверхности и черев -направленный элемент поверхности. Тогда или, короче, есть поток через некоторую поверхность.

Интенсивность источников, заключенных внутри замкнутой поверхности, равна для стационарного движения [см. ур. (5), 3]:

Отсюда получается

В случае постоянной плотности имеем

или

где суть направляющие косинусы нормали. Это уравнение носит названи теоремы Гаусса. Иногда, особенно в английской литературе, опо причисляет к теоремам Грина.

Из уравнения (7а) можно получить несколько более общую форму теорем» Гаусса: