6. Задачи с граничными условиями; функция Грина.

Задача Дирихле, или так называемая первая предельная задача, состоит в отыскании однозначной в области потенциальной (гармонической) функции о, удовлетворяющей уравнению Лапласа во всех точках области по заданным значениям на границе

Задача Неймана, или так называемая вторая предельная задача, состоит в отыскании однозначной в потенциальной функции удовлетворяющей уравнению Лапласа во всех точках области по заданным на границе значениям что соответствует в гидродинамике заданию нормальной составляющей скорости. В гидродинамике вторая задача является более важной.

Задачи с другими граничными условиями, правда, также существенны для гидродинамики, но мы их не будем здесь рассматривать, чтобы не загромождать изложения.

Для того чтобы освободиться от необходимости знать входящие в уравнение (16а) 5.

значения и на границе, заметим следующее.

На основании теоремы Грина [уравнение для всякой функции удовлетворяющей во веех точках уравнению Лапласа

имеет место равенство

Комбинируя это равенство с уравнением (1а), 5, мы получаем:

Функцию надо постараться подобрать таким образом, чтобы один из интегралов обращался в нуль или, если это недостижимо, чтобы он принял некоторое постоянное значение, хотя бы и отличное от нуля.

Таким образом, первая задача сводится к нахождению функции обладающей следующими свойствами:

a) G должна быть конечной, однозначной и непрерывной вместе со своими первыми производными во всех точках

b) G должна во всех точках удовлетворять уравнению Лапласа;

c) во всех точках на границе должно быть где есть расстояние от точки

d) если область простирается в бесконечность, то к этому нужно добавить еще одно условие: должна убывать на бесконечности, как величина первого порядка относительно

Определение само требует решения предельной задачи для частного случая, когда заданное значение функции на границе равно Если эта функция найдена, то при помощи ее мы можем решить задачу Дирихле для любых предельных значений искомой функции по формуле;

называется первым потенциалом Грина. Вместо нее часто употребляют функцию Грина

и пишут решение в виде

Функция отличается от тем, что она:

а) в точке А, в имеет "полюс", в котором обращается в бесконечность, как

b) в точке А не удовлетворяет уравнению Лапласа;

с) во всех точках на границе обращается в нуль.

Решение первой граничной задачи указывает путь для решения второй. Естественно было бы попытаться обратить в нуль второй интёграл формулы (18), подыскав такую функцию которая имела бы на границе то же значение нормальной производной, как и а в остальном удовлетворяла бы тем же условиям как и в первой предельной задаче. Однако, оказывается, что, по крайней мере, для ограниченной области такую функцию подобрать невозможно. Действительно, для любой функции, удовлетворяющей в этой области уравнению Лапласа, а, следовательно, и для постулируемой функции мы имеем, на основании теоремы Гаусса,

С другой стороны,

если есть расстояние от поверхности до полюса А внутри этой поверхности. Поэтому, когда вводят для внутренней области второй потенциал Грина его подчиняют требованию

где есть площадь граничной поверхности, а также условиям В самом деле, мы имеем тогда:

Решение второй граничной задачи получается из (18) и имеет вид:

где С есть некоторая произвольная постоянная. Изменение потенциала на аддитивную константу не изменяет значения его производных.

Для внешней области, простирающейся в бесконечность, можно искать функцию удовлетворяющую условию

В этом случае в решении граничной задачи произвольная постоянная отпадает, потенциал однозначно определяется условием

Кроме второго потенциала Грина в литературе встречается функция Грина второго рода, или функция Неймана

Она отличается от тем, что:

a) в точке А, ее "полюсе", она обращается в бесконечность, как ;

b) в точке А не удовлетворяет уравнению Лапласа;

c) во всех точках на границе имеет постоянную или обращающуюся в нуль производную по нормали.

С помощью функции решение второй граничной задачи может быть написано в виде

Физически функция Грина второго рода для внешней области представляет собой потенциал скоростей, соответствующий течению жидкости с источником интенсивности находящимся в точке А, причем границы области играют роль твердых стенок. Для внутренней области условие равенства нулю нормальной составляющей скорости на границе заменяется условием ее постоянства, так что поток через поверхность равномернб распределен по всей ее площади.