3. Решение при данных начальных условиях.

Для нахождения движения, совершаемого струной из заданного начального положения

с известными начальными скоростями

мы поступим так же, как и в случай однородной струны (см. стр. 298). Если

суть колебания, соответствующие частотам то всякий сходящийся ряд, допускающий почленное дифференцирование

с пока произвольными коэффициентами удовлетворяет интегральному уравнению движения струны:

Коэффициенты следует определить так, чтобы этот ряд удовлетворял начальным условиям (30) и (31). Для этого должны выполняться соотношения:

Считая ряды равномерно сходящимися, умножим эти равенства справа и слева за и проинтегрируем от до Тогда все интегралы в правой части обратятся в нуль за исключением

та основании (16), и мы получаем

Остается только показать, что получаемые ряды сходятся и действительно представляют собой функции Для доказательства мы используем функции для чего умножим равенства (33) на что дает:

Значит функция должна быть разложима в ряд типа Фурье по фундаментальным функциям симметричного интегрального уравнения (15). Из общей теории интегральных уравнений известно, что подобное разложение возможно, если функция может быть представлена в виде

где функция квадратично интегрируема. Записывая это условие в виде

мы видим, что это условие соблюдено, если начальное положение струны может быть представлено как форма равновесия под влиянием квадратично интегрируемой нагрузки Так как нагрузка, вызывающая заданное смещение согласно уравнению (1), определяется соотношением

то наше условие требует, чтобы начальное положение струны представлялось функцией, вторая производная которой квадратично интегрируема.

Аналогичные условия получаются и для Этот результат может быть обобщен, и может быть показано, что составленные указанным образом ряды абсолютно и равномерно сходятся для всякого начального состояния, получающегося при конечной затрате энергии.